Differenza finita

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In matematica, una differenza finita è un'espressione nella forma di una differenza tra i valori assunti da una funzione in due specifici punti:

Se la differenza finita è divisa per si ottiene un rapporto incrementale. Viene in genere indicata con la lettera greca seguita dalla quantità che subisce tale variazione (ad esempio ).[1]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una differenza con centro e passo è definita come:

Si studiano principalmente tre tipi di differenze finite. La differenza finita in avanti (forward difference):

la differenza finita all'indietro (backward difference):

e la differenza finita centrata (central difference):

Le differenze finite sono centrali nell'analisi numerica per l'approssimazione delle derivate e quindi nella risoluzione numerica delle equazioni differenziali.

Relazione con le derivate[modifica | modifica wikitesto]

La derivata di una funzione in è definita come il limite del rapporto incrementale:

Se , invece che annullarsi, assume un valore fissato, allora il termine a destra si può scrivere:

in modo che la differenza finita in avanti divisa per approssima il valore della derivata per piccolo.

L'errore relativo a tale approssimazione può essere derivato tramite il teorema di Taylor. Assumendo una funzione differenziabile con continuità l'errore è:

e la stessa formula vale per la differenza finita all'indietro:

La differenza finita centrata, tuttavia, fornisce un'approssimazione più accurata. In tal caso l'errore è proporzionale al quadrato del passo (se la funzione è differenziabile con continuità due volte, ovvero la derivata seconda è continua per ogni ):

Metodo alle differenze finite[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Metodo alle differenze finite.

Le differenze finite possono essere utilizzate per discretizzare una equazione differenziale ordinaria. Un esempio classico è il metodo di Eulero, che sfrutta alternativamente i tre i tipi di differenze finite presentati.

Operatore[modifica | modifica wikitesto]

Un operatore astratto agente su uno spazio funzionale che, data una funzione, ne restituisce la differenza finita con centro e passo si dice un operatore alle differenze. Quello in avanti per esempio può essere espresso come:

dove è l'operatore di shift e l'identità. Similmente si possono descrivere gli altri due tipi.

Qualsiasi operatore alle differenze di quelli visti è lineare e soddisfa la regola di Leibniz.

La relazione di Taylor può essere espressa allora in termini simbolici come:

dove è l'operatore differenziale che trasforma una funzione nella sua derivata.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

In analogia con le regole di derivazione, per un operatore alle differenze (in avanti o all'indietro):

  • Se è costante
  • Se e sono costanti (linearità):

Denotando con e rispettivamente gli operatori in avanti e all'indietro:

  • Regola del prodotto:
  • Regola del quoziente:
oppure:
  • Regole di sommazione:

Differenze finite di ordine superiore[modifica | modifica wikitesto]

Si possono definire approssimazioni per le derivate di ordine successivo in modo iterativo. Utilizzando ad esempio le differenze centrate per approssimare otteniamo la differenza finita centrata del second'ordine:

Più in generale, le differenze finite dell' -esimo ordine sono definite rispettivamente come:

Se necessario, è possibile mischiare i tre tipi centrando l'approssimazione successivamente in punti diversi.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Per e positivi:

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

  • Una differenza finita generalizzata è spesso definita come:
dove è il vettore dei suoi coefficienti. Un'ulteriore generalizzazione si ha quando la somma viene rimpiazzata da una serie infinita, ottenendo la differenza infinita.
Si possono anche rendere i coefficienti dipendenti dal punto, ovvero , ottenendo così una differenza "pesata". Si può anche far dipendere dal punto , ovvero : ciò risulta utile ad esempio per definire diversi moduli di continuità.

Interpolazione di Newton[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Polinomio di Newton.

La formula di interpolazione di Newton, introdotta da Newton nei Philosophiae Naturalis Principia Mathematica del 1687,[2] è l'analogo discreto dell'espansione di Taylor continua:

che vale per ogni funzione polinomiale e per molte funzioni analitiche. L'espressione:

è il coefficiente binomiale, mentre:

è il fattoriale decrescente. Il prodotto vuoto vale inoltre 1.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) IUPAC Gold Book, "change of a quantity"
  2. ^ Newton, Isaac, (1687). Principia, Book III, Lemma V, Case 1

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Richtmeyer, D. and Morton, K.W., (1967). Difference Methods for Initial Value Problems, 2nd ed., Wiley, New York.
  • (EN) H. Levy e Lessman, F., Finite Difference Equations, Dover, 1992, ISBN 0-486-67260-3.
  • (EN) Ames, W. F., (1977). Numerical Methods for Partial Differential Equations, Section 1.6. Academic Press, New York. ISBN 0-12-056760-1.
  • (EN) Hildebrand, F. B., (1968). Finite-Difference Equations and Simulations, Section 2.2, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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