Metodi di soluzione numerica per equazioni differenziali ordinarie

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I metodi di soluzione numerica per equazioni differenziali ordinarie permettono di risolvere in maniera approssimata equazioni differenziali ordinarie altrimenti non trattabili.

Metodi a passo singolo[modifica | modifica wikitesto]

Un metodo numerico per la risoluzione di una equazione differenziale si definisce ad un passo se per ogni dipende solamente da . Altrimenti si parla di metodo a più passi o multistep.

Metodi di Eulero[modifica | modifica wikitesto]

Metodo di Eulero esplicito (o "in avanti")[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Metodo di Eulero.

Si tratta di un metodo esplicito per risolvere un'equazione differenziale. Data l'equazione nella forma:

con la condizione iniziale:

definita nel dominio è necessario prima di tutto discretizzare il dominio con un passo , ottenendo i punti discreti , dove , con e . A questo punto il procedimento è quello di sostituire l'equazione della tangente alla funzione:

In questo modo la soluzione diviene una somma di funzioni lineari "troncate":

in cui:

per .

Metodo di Eulero implicito (o all'indietro)[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Metodo di Eulero all'indietro.

Si tratta di un metodo implicito per risolvere un'equazione differenziale, ricavato dall'approssimazione della derivata con le differenze finite all'indietro:

che applicato all'equazione differenziale diventa:

equivalente a:

da cui otteniamo la formula risolutiva generica:

Per risolvere l'equazione ci si riconduce pertanto ad un problema di ricerca di zeri di una funzione. Pur essendo anch'esso un metodo del prim'ordine, è in generale più stabile dell'analogo metodo esplicito. I metodi di Eulero sono usati quasi esclusivamente in analisi numerica, poiché permettono di risolvere semplicemente equazioni differenziali mediante l'utilizzo del computer.

Metodo dei trapezi (o metodo di Crank-Nicolson)[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Metodo di Crank-Nicolson.

Non sempre i metodi precedenti sono utilizzabili nell'approssimazione numerica di equazioni differenziali. Ad esempio, nel caso del pendolo lineare:

i due metodi di Eulero porteranno, durante il processo di numerizzazione, a trasformare il centro in un fuoco. Esistono, dunque, altri metodi, uno di questi è il metodo dei trapezi. Questo metodo deriva comunque dai metodi di Eulero: è sufficiente sommare membro a membro la formula del metodo di Eulero esplicito e quella di Eulero implicito per ricavarne il nuovo metodo, come segue:

Il nome del metodo deriva dal fatto che la formula risultante ha la stessa forma utilizzata per approssimare l'integrale definito di una funzione come l'area di un trapezio.

Metodo di Heun[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Metodo di Heun.

Dapprima, calcolare:

Poi, calcolare:

Metodi Multistep[modifica | modifica wikitesto]

Questi metodi utilizzano non solamente e per calcolare ma anche i valori . Con tutti questi metodi, è necessario utilizzare da primo un metodo a singolo passo (come il metodo di Eulero) per calcolare i primi valori dei .

Metodo di Adams-Bashforth[modifica | modifica wikitesto]

Metodo esplicito:

Fu utilizzata da John Couch Adams per risolvere le equazioni differenziali della teoria della capillarità (vedi la bibliografia).

Metodo di Adams-Moulton[modifica | modifica wikitesto]

Metodo implicito:

Metodi Predictor-Corrector[modifica | modifica wikitesto]

Un metodo predittore-correttore si forma di un metodo esplicito (il predittore) e un metodo implicito (il correttore). Da primo, il metodo esplicito è utilizzato per calcolare un'approssimazione di . Poi, questa approssimazione di è utilizzata nel metodo implicito par calcolare una migliore approssimazione di . Il vantaggio di questo tipo di metodo è di evitare di risolvere un'equazione implicita per . Un esempio di metodo predittore correttore è il metodo di Adams-Bashforth (il predittore) con il metodo di Adams-Moulton (il correttore).

Metodo di approssimazione a serie di potenze[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Serie di potenze e Convergenza.

Le Serie di potenze sono un algoritmo per costruire funzioni e quindi soluzioni di equazioni differenziali lineari. Il procedimento è quello di costruire formalmente una serie di potenze in modo che i suoi coefficienti soddisfino l'equazione differenziale, in particolare utilizzando le serie derivate, e controllare poi che la scelta dei coefficienti dia una serie convergente, quindi converga ad una funzione.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri:

Si costruisce formalmente le serie:

valutando i primi termini:

uguagliando alle rispettive potenze della :

che corrisponde a
che corrisponde a
che corrisponde a
che corrisponde alla serie:

Questa serie è convergente in per ogni scelta di (potendosi ricondurre alla serie esponenziale con la sostituzione ) e la somma di tale serie, che è funzione di classe , fornisce una soluzione dell'equazione differenziale.

Naturalmente l'algoritmo vale anche per equazioni differenziali lineari di ordini superiori.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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