Metodi di soluzione analitica per equazioni differenziali ordinarie

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I metodi di soluzione analitica per equazioni differenziali ordinarie permettono di risolvere in maniera esatta alcune classi di equazioni differenziali ordinarie.

Equazioni del primo ordine[modifica | modifica wikitesto]

Non esiste un'unica formula risolutiva valida per tutti i tipi di equazioni differenziali del primo ordine. Tra i casi più ricorrenti vi sono:

Le equazioni differenziali del primo ordine sono particolarmente importanti, in quanto è possibile ridurre un'equazione di grado n, superiore al primo, ad un sistema di equazioni del primo ordine, di cui almeno n-1 lineari. Ad esempio, sia data l'equazione di terzo grado:

Essa è equivalente al sistema:

Una volta trovate le soluzioni, tramite semplice integrazione si ottiene .

Equazioni differenziali lineari[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione differenziale lineare.

Le equazioni differenziali lineari del primo ordine hanno la forma canonica:

dove è lineare in . Pertanto l'equazione assume la forma:

Soluzioni particolari di queste equazioni vennero trovate da Isaac Newton, Leibniz e molti altri esponenti della genesi del calcolo infinitesimale. Tuttavia, la soluzione generica venne trovata da uno dei Bernoulli, Jean. La soluzione generale è:

Equazioni differenziali a variabili separabili[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Separazione delle variabili.

Sono tutte le equazioni differenziali espresse nella forma:

dove le funzioni e sono definite e continue su intervalli. Si verifica immediatamente che, se , allora la funzione costante è soluzione dell'equazione.

Se la funzione è derivabile con continuità, segue dal teorema di Picard che una soluzione , tale che sia diverso da 0 per un qualche , non annullerà mai . È allora lecito dividere per , ottenendo:

Integrando, si ha:

Si può utilizzare il teorema di integrazione per sostituzione (), ottenendo:

La soluzione soddisfa quindi, per una opportuna costante reale , la condizione:

dove è una primitiva di e di , primitive che certamente esistono per la continuità di e . La formula precedente descrive una soluzione in forma implicita. Può essere difficile riuscire a trovare una formula che descriva la funzione inversa di e quindi avere le soluzioni dell'equazione differenziale in forma "esplicita".

Equazioni differenziali esatte[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione differenziale esatta.

Un terzo tipo di equazioni differenziali del primo ordine risolvibili analiticamente sono quelle riconducibili ad un differenziale esatto. Un'equazione di questo tipo può essere scritta come:

dove p e q sono due funzioni qualunque. Consideriamo le derivate parziali di rispetto ad e di rispetto a : se queste due sono uguali, avremo un differenziale esatto. In simboli:

La soluzione generale è:

oppure:

Queste sono soluzioni implicite, per cui vale il discorso riguardo l'invertibilità della soluzione. Alcuni casi in cui le derivate miste non sono uguali, possono essere ricondotti a questo tramite un opportuno fattore di integrazione per cui si abbia:

Equazioni differenziali non lineari[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo un'equazione differenziale di ordine n che indicheremo:

Se l'equazione è lineare con coefficienti e termini noti continui in un determinato intervallo allora è possibile trovare una funzione reale dipendente da e n parametri costanti del tipo:

detta anche integrale generale della funzione

Se l'equazione è non lineare, invece, non è detto che si possa trovare una soluzione del tipo:

che fornisca tutti gli integrali della funzione:

e a tale scopo si definisce equazione non lineare la funzione:

per la cui soluzione:

detta integrale generale in forma esplicita, si hanno solo alcuni integrali di:

e non necessariamente tutti gli integrali di essa.

Equazioni a variabili separabili del primo ordine[modifica | modifica wikitesto]

Data l'equazione:

dove e sono funzioni continue rispettivamente nei propri intervalli di definizione, essa è non lineare se non è un polinomio di primo grado. Riconducendosi ad un problema di Cauchy imponendo una condizione iniziale è possibile risolvere il problema con il metodo di separazione delle variabili con la procedura enunciata precedentemente.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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