Metodi di soluzione analitica per equazioni differenziali ordinarie

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I metodi di soluzione analitica per equazioni differenziali ordinarie permettono di risolvere in maniera esatta alcune classi di equazioni differenziali ordinarie.

Equazioni del primo ordine[modifica | modifica wikitesto]

Non esiste un'unica formula risolutiva valida per tutti i tipi di equazioni differenziali del primo ordine. Tra i casi più ricorrenti vi sono:

Le equazioni differenziali del primo ordine sono particolarmente importanti, in quanto è possibile ridurre un'equazione di grado n, superiore al primo, ad un sistema di equazioni del primo ordine, di cui almeno n-1 lineari. Ad esempio, sia data l'equazione di terzo grado:

{u'''}^2 + u'' = x

Essa è equivalente al sistema:

z_1 = u' \qquad z_2 = z_1' \qquad {z_2'}^2 + z_2 = x

Una volta trovate le soluzioni, tramite semplice integrazione si ottiene u.

Equazioni differenziali lineari[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione differenziale lineare.

Le equazioni differenziali lineari del primo ordine hanno la forma canonica:

y'=f(x,y)

dove f è lineare in y. Pertanto l'equazione assume la forma:

y'=a(x)y +b(x)

Soluzioni particolari di queste equazioni vennero trovate da Isaac Newton, Leibniz e molti altri esponenti della genesi del calcolo infinitesimale. Tuttavia, la soluzione generica venne trovata da uno dei Bernoulli, Jean. La soluzione generale è:

y= e ^{\int a(x)dx} \left ( \int b(x)  e^{-\int a(x)dx} dx + costante \right )

Equazioni differenziali a variabili separabili[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Separazione delle variabili.

Sono tutte le equazioni differenziali espresse nella forma:

y' =a(x) b(y)

dove le funzioni a e b sono definite e continue su intervalli. Si verifica immediatamente che, se b(\bar y) = 0, allora la funzione costante y(x) = \bar y è soluzione dell'equazione.

Se la funzione b è derivabile con continuità, segue dal teorema di Picard che una soluzione \phi, tale che b(\phi(\bar x)) sia diverso da 0 per un qualche \bar x, non annullerà mai b(\phi(x)). È allora lecito dividere per b(\phi(x)), ottenendo:

\frac {\phi'(x)} {b(\phi(x))}=a(x)

Integrando, si ha:

\int {\frac {\phi'(x)} {b(\phi(x))}} {dx}  = \int a(x)dx

Si può utilizzare il teorema di integrazione per sostituzione (s = \phi(x)), ottenendo:

\left( \int {\frac {1} {b(s)}} {ds} \right)_{s = \phi(x)} = \int a(x)dx

La soluzione \phi soddisfa quindi, per una opportuna costante reale c, la condizione:

B(\phi(x)) = A(x)+ c

dove B è una primitiva di 1 / b e A di a, primitive che certamente esistono per la continuità di a e b. La formula precedente descrive una soluzione in forma implicita. Può essere difficile riuscire a trovare una formula che descriva la funzione inversa di B e quindi avere le soluzioni dell'equazione differenziale in forma "esplicita".

Equazioni differenziali esatte[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione differenziale esatta.

Un terzo tipo di equazioni differenziali del primo ordine risolvibili analiticamente sono quelle riconducibili ad un differenziale esatto. Un'equazione di questo tipo può essere scritta come:

 p(x,y) + q(x,y) \frac {dy} {dx}=0

dove p e q sono due funzioni qualunque. Consideriamo le derivate parziali di p rispetto ad y e di q rispetto a x: se queste due sono uguali, avremo un differenziale esatto. In simboli:

 \frac {\partial p(x,y)} {\partial y} = \frac {\partial q(x,y) } {\partial x}

La soluzione generale è:

P(x,y) = \int {p(x,y)dx} +  \int { \left \{ q(x,y) - \left [ \int {p(x,y)dx} \right ] _y \right \} dy} + C

oppure:

Q(x,y) = \int {q(x,y)dy} +  \int { \left \{ p(x,y) - \left [ \int {q(x,y)dy} \right ] _x \right \} dx} + C

Queste sono soluzioni implicite, per cui vale il discorso riguardo l'invertibilità della soluzione. Alcuni casi in cui le derivate miste non sono uguali, possono essere ricondotti a questo tramite un opportuno fattore di integrazione \mu per cui si abbia:

 \frac {\partial [\mu p(x,y)]} {\partial y} = \frac {\partial [ \mu q(x,y)] } {\partial x}

Equazioni differenziali non lineari[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo un'equazione differenziale di ordine n che indicheremo:

F (x, y, y^', \ldots \ldots, y^{(n)}) = 0

Se l'equazione è lineare con coefficienti e termini noti continui in un determinato intervallo allora è possibile trovare una funzione reale dipendente da x e n parametri costanti c del tipo:

y = y (x, c_1, c_2, \ldots \ldots, c_n)

detta anche integrale generale della funzione F (x, y, y^', \ldots \ldots, y^{(n)}) = 0

Se l'equazione è non lineare, invece, non è detto che si possa trovare una soluzione del tipo:

y = y (x, c_1, c_2, \dots, c_n)

che fornisca tutti gli integrali della funzione:

F (x, y, y^', \dots, y^{(n)}) = 0

e a tale scopo si definisce equazione non lineare la funzione:

F (x, y, y^', \dots, y^{(n)}) = 0

per la cui soluzione:

y = y (x, c_1, c_2, \dots, c_n)

detta integrale generale in forma esplicita, si hanno solo alcuni integrali di:

F (x, y, y^', \dots, y^{(n)}) = 0

e non necessariamente tutti gli integrali di essa.

Equazioni a variabili separabili del primo ordine[modifica | modifica wikitesto]

Data l'equazione:

y^'{(x)}=a{(x)} \cdot b{(y{(x)})}

dove a(x) e b(x) sono funzioni continue rispettivamente nei propri intervalli di definizione, essa è non lineare se b non è un polinomio di primo grado. Riconducendosi ad un problema di Cauchy imponendo una condizione iniziale y{(x_0)}=y_0 è possibile risolvere il problema con il metodo di separazione delle variabili con la procedura enunciata precedentemente.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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