Equazione differenziale di Bernoulli

In matematica, l'equazione differenziale di Bernoulli è un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine.

Ridotta in forma canonica, si rappresenta come:

$y'+f(x)y=g(x)y^{n}$

con $n$ costante. Se $x_{0}\in (a,b)$ e:

$\left\{{\begin{array}{ll}z:(a,b)\rightarrow (0,\infty )\qquad \alpha \in \mathbb {R} \setminus \{1,2\}\\z:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}\qquad \alpha =2\\\end{array}}\right.$

è una soluzione dell'equazione lineare:

$z'(x)=(1-\alpha )P(x)z(x)+(1-\alpha )Q(x)$

allora si ha che $y(x):=[z(x)]^{\frac {1}{1-\alpha }}$ è una soluzione di:

$y'(x)=P(x)y(x)+Q(x)y^{\alpha }(x)\qquad y(x_{0})=y_{0}:=[z(x_{0})]^{\frac {1}{1-\alpha }}$

e ogni equazione di questo tipo ha una soluzione $y\equiv 0$ per $y_{0}=0$ per ogni $\alpha >0$.

Metodo di risoluzione

Il metodo di risoluzione fu trovato da Jakob Bernoulli I. Per $n=1$ o $n=0$ l'equazione è riconducibile immediatamente alla soluzione generale delle equazioni lineari del primo ordine. Il metodo risolutivo generale, con n reale qualunque richiede di dividere l'equazione per $y^{n}$ (tenendo conto del fatto che, per $n>0$, $y=0$ rappresenta una soluzione del primo tipo, e che invece per $n<0$ la funzione $y$ deve essere necessariamente diversa da 0 per la condizione di esistenza della funzione che la definisce), ottenendo:

${\frac {1}{y^{n}}}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {f(x)}{y^{n-1}}}=g(x)$

Si effettua poi la sostituzione $w=1/y^{n-1}$, da cui:

$w'={\frac {1-n}{y^{n}}}{\frac {dy}{dx}}$

si ha:

${w'}+w(1-n){f(x)}=(1-n)g(x)$

che rientra nel caso generale delle equazioni di primo grado. Riscrivendo come:

${w'}=w(n-1){f(x)}+(1-n)g(x)=F(x)w+G(x)$

e integrando, si ottiene:

$w=e^{\int {F}}\left(\int {Ge^{-\int {F}}}+c\right)$

da cui poi si ricava la $y$.

Una variante consiste nel sostituire direttamente:

$y=z^{\frac {1}{1-n}}$

nell'equazione:

$y'=-f(x)y+g(x)y^{n}$

in modo che si ha:

$z'=(1-n)y'y^{-n}$

da cui:

$y'=z'{\frac {y^{n}}{1-n}}$

quindi sostituendo e semplificando:

$z'=(1-n)[-f(x)z+g(x)]$

Esempio

Sia dato:

$y'+2y\operatorname {sin} x=y^{-2}\operatorname {sin} x$

dividendo si ha:

${\frac {y'}{y^{-2}}}+{\frac {2\operatorname {sin} x}{y^{-3}}}=\operatorname {sin} x$

ponendo $w={\frac {1}{y^{-3}}}$:

$w'=-w6\operatorname {sin} x+3\operatorname {sin} x$

e integrando:

$w=e^{6\operatorname {cos} x}\left({\frac {1}{2}}e^{-6\operatorname {cos} x}+C\right)={\frac {1}{2}}+Ce^{6\operatorname {cos} x}$

Ricordando che $w=y^{3}$, l'unica radice reale per $y$ è:

$y={}^{3}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+Ce^{6\operatorname {cos} x}}}$

Bibliografia

• (EN) Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 5th ed. New York: Wiley, p. 28, 1992.
• (EN) Ince, E. L. Ordinary Differential Equations. New York: Dover, p. 22, 1956.
• (EN) Rainville, E. D. and Bedient, P. E. Elementary Differential Equations. New York: Macmillian, pp. 69–71, 1964.
• (EN) Simmons, G. F. Differential Equations, With Applications and Historical Notes. New York: McGraw-Hill, p. 49, 1972.

Voci correlate

• Equazione di Riccati
• Equazione differenziale lineare
• Equazione differenziale ordinaria

Collegamenti esterni

• Bernoulli, equazione differenziale di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Equazione differenziale di Bernoulli, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Equazione differenziale di Bernoulli, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) SosMath, su sosmath.com.
• (EN) Lamar University, su tutorial.math.lamar.edu.