Metodo di riduzione dell'ordine

In matematica, il metodo di riduzione dell'ordine è una procedura utilizzata per risolvere equazioni differenziali lineari ordinarie. Frequentemente si applica a equazioni lineari del secondo ordine quando si conosce una soluzione $y_{1}(x)$ e si vuole trovare una seconda soluzione linearmente indipendente $y_{2}(x)$. Nel caso di equazioni di ordine n produce un abbassamento di grado dell'equazione.

Metodo generale

Data un'equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea:

$y''+p(t)y'+q(t)y=r(t)$

ed una soluzione $y_{1}(t)$ dell'equazione omogenea, si vuole trovare una soluzione dell'equazione completa che abbia la forma:

$y_{2}=v(t)y_{1}(t)\,$

dove $v(t)$ è una funzione arbitraria. Derivando:

$y_{2}'=v'(t)y_{1}(t)+v(t)y_{1}'(t)$

$y_{2}''=v''(t)y_{1}(t)+2v'(t)y_{1}'(t)+v(t)y_{1}''(t)$

e sostituendo nell'equazione di partenza si ha:

$y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'+(y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t))\,v=r(t)$

Dato che $y_{1}(t)$ è soluzione dell'equazione omogenea:

$y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t)=0$

la precedente si può ridurre a:

$y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'=r(t)$

che è un'equazione del primo ordine per $v'(t)$. Dividendo per $y_{1}(t)$ si ha:

$v''+\left({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t)\right)\,v'={\frac {r(t)}{y_{1}(t)}}$

Moltiplicando l'equazione per il fattore di integrazione:

$\mu (t)=e^{\int ({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t))dt}=y_{1}^{2}(t)e^{\int p(t)dt}$

l'equazione si può ridurre a:

${\frac {d}{dt}}(v'(t)y_{1}^{2}(t)e^{\int p(t)dt})=y_{1}(t)r(t)e^{\int p(t)dt}$

Integrando l'ultima equazione si trova $v'(t)$, che contiene una costante d'integrazione. Quindi integrando $v'(t)$ si giunge alla soluzione dell'equazione non omogenea (con due costanti di integrazione):

$y_{2}(t)=v(t)y_{1}(t)$

Esempio

Data l'equazione lineare a coefficienti costanti:

$ay''(x)+by'(x)+cy(x)=0$

dove $a$, $b$ e $c$ sono coefficienti non nulli, si assuma che l'equazione caratteristica associata:

$a\lambda ^{2}+b\lambda +c=0$

abbia due radici ripetute:

$\lambda _{1}=\lambda _{2}=-{\frac {b}{2a}}$

Una soluzione dell'equazione è allora:

$y_{1}(x)=e^{-{\frac {b}{2a}}x}$

Per trovare la seconda, si consideri la funzione:

$y_{2}(x)=v(x)y_{1}(x)$

con $v(x)$ una funzione ignota da determinare. La funzione $y_{2}(x)$ deve soddisfare l'equazione di partenza; sostituendola in essa si ha:

$a\left(v''y_{1}+2v'y_{1}'+vy_{1}''\right)+b\left(v'y_{1}+vy_{1}'\right)+cvy_{1}=0$

e raccogliendo le derivate di $v(x)$:

$\left(ay_{1}\right)v''+\left(2ay_{1}'+by_{1}\right)v'+\left(ay_{1}''+by_{1}'+cy_{1}\right)v=0$

Sapendo che $y_{1}(x)$ è una soluzione, il coefficiente del termine di grado zero dell'equazione precedente è nullo. Inoltre, sostituendo $y_{1}(x)$ nel coefficiente del secondo termine (primo grado) si ha che il coefficiente diventa:

$2a\left(-{\frac {b}{2a}}e^{-{\frac {b}{2a}}x}\right)+be^{-{\frac {b}{2a}}x}=\left(-b+b\right)e^{-{\frac {b}{2a}}x}=0$

Rimane quindi soltanto il termine di secondo grado:

$ay_{1}v''=0$

Essendo $a\neq 0$ e $y_{1}(x)$ una funzione esponenziale (sempre positiva) si può scrivere:

$v''=0$

che integrando due volte produce:

$v(x)=c_{1}x+c_{2}$

dove $c_{1}$ e $c_{2}$ sono costanti date dall'integrazione. Si può allora scrivere la seconda soluzione come:

$y_{2}(x)=(c_{1}x+c_{2})y_{1}(x)=c_{1}xy_{1}(x)+c_{2}y_{1}(x)$

Essendo il secondo termine un multiplo scalare della prima soluzione (dunque linearmente dipendente con essa), esso non viene considerato e si giunge a:

$y_{2}(x)=xy_{1}(x)=xe^{-{\frac {b}{2a}}x}$

Per mostrare che invece la seconda soluzione $y_{2}(x)$ è linearmente indipendente, si calcola il Wronskiano:

$W(y_{1},y_{2})(x)={\begin{vmatrix}y_{1}&xy_{1}\\y_{1}'&y_{1}+xy_{1}'\end{vmatrix}}=y_{1}(y_{1}+xy_{1}')-xy_{1}y_{1}'=y_{1}^{2}+xy_{1}y_{1}'-xy_{1}y_{1}'=y_{1}^{2}=e^{-{\frac {b}{2a}}x}\neq 0$

Quindi $y_{2}(x)$ è la seconda soluzione cercata.

Bibliografia

• (EN) W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th edition), John Wiley & Sons, Inc., 2005. ISBN 0-471-43338-1.
• (EN) Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Providence, American Mathematical Society, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0.

Voci correlate

• Equazione di Eulero
• Equazione differenziale lineare
• Equazione differenziale lineare del secondo ordine
• Metodi di soluzione analitica per equazioni differenziali ordinarie

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Metodo di riduzione dell'ordine, su MathWorld, Wolfram Research.