Wronskiano

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In matematica, il wronskiano è un determinante introdotto dal matematico polacco Josef Hoene-Wronski diffusamente utilizzato nello studio di equazioni differenziali. Consente frequentemente di mostrare l'indipendenza lineare di un insieme di soluzioni.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Il Wronskiano di due funzioni differenziabili e è . In generale, dato un insieme di n funzioni , il Wronskiano è definito come:

ovvero come il determinante della matrice quadrata costruita mettendo le funzioni nella prima riga, la derivata prima di ogni funzione nella seconda riga, e così fino alla derivata n-1. In una equazione differenziale lineare del secondo ordine, il wronskiano può essere calcolato facilmente con l'identità di Abel.

Indipendenza lineare[modifica | modifica wikitesto]

Il wronskiano può essere usato per determinare se un insieme di funzioni derivabili è linearmente indipendente su un dato intervallo, in quanto se le funzioni sono linearmente dipendenti allora lo sono anche le loro derivate (essendo la derivata una trasformazione lineare), e dunque le colonne del wronskiano sono linearmente dipendenti.

Se il wronskiano è diverso da zero in almeno un punto dell'intervallo allora le funzioni associate sono linearmente indipendenti nell'intervallo; se sono invece linearmente dipendenti è uguale a zero, tuttavia non è vero il viceversa: se il wronskiano è uniformemente zero nell'intervallo le funzioni possono o meno essere linearmente dipendenti, cioè il fatto che ovunque non implica la dipendenza lineare.

Questo utilizzo del wronskiano è presente in molte situazioni, ad esempio per verificare l'indipendenza lineare di due soluzioni di un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Si considerino le funzioni , e definite per numero reale. Calcolando il wronskiano:
si vede che non è uniformemente nullo, quindi queste funzioni devono essere linearmente indipendenti.
  • Si considerino le funzioni , , e . Queste funzioni sono linearmente dipendenti, infatti . Così il Wronskiano deve essere zero; come si può verificare nel seguente modo:
  • Come detto precedentemente, il fatto che il wronskiano sia nullo non implica in generale che le funzioni considerate sono linearmente dipendenti. Si considerino le funzioni e , con il valore assoluto. La seconda funzione può essere scritta come:
È possibile verificare che queste due funzioni sono linearmente indipendenti nell'insieme dei numeri reali; tuttavia il loro wronskiano è zero:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) T.M. Apostol, Mathematical analysis , Addison-Wesley (1974)
  • (EN) P. Hartman, Ordinary differential equations , Birkhäuser (1982)
  • (FR) G. Peano, "Sur le déterminant Wronskian" Mathesis , 9 (1989) pp. 75–76

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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