Equazione differenziale esatta

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Un'equazione differenziale esatta è un'equazione differenziale ordinaria riconducibile ad un differenziale esatto.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Si considerino un insieme semplicemente connesso e aperto e due funzioni e continue su . L'equazione differenziale implicita:

è un'equazione differenziale esatta se esiste una funzione differenziabile con continuità , detta potenziale, spesso indicato con , tale che:

Il termine "esatta" si riferisce alla derivata totale di una funzione, detta talvolta "derivata esatta", che per una funzione è data in da:

Nelle applicazioni fisiche e non sono solitamente solo continue, ma anche differenziabili con continuità, ed il teorema di Schwarz fornisce allora una condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza della funzione potenziale (per equazioni definite su un insieme non semplicemente connesso tale criterio è solo necessario). Esso esiste se e solo se:

Metodo risolutivo[modifica | modifica wikitesto]

Per trovare la soluzione, si consideri l'equazione nella forma:

Integrando rispetto ad , dato che si tratta di una funzione in due variabili invece di una costante d'integrazione si ha una funzione in :

Dal momento che:

si ottiene l'uguaglianza:

e risolvendo rispetto ad si ha:

Integrando:

Sostituendo questo valore in si ottiene la soluzione finale dell'equazione:

Facendo la scelta opposta di variabili si ha, analogamente:

Queste sono soluzioni implicite, da cui si possono ricavare soluzioni esplicite solo se la P o la Q sono invertibili.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Sia dato:

con alcuni passaggi si ottiene:

di cui una soluzione banale è . Per calcolare le altre soluzioni, la condizione:

è soddisfatta e quindi si può calcolare l'integrale rispetto ad del primo termine:

Per la seconda parte si deve derivare questa funzione rispetto ad , sottrarla da , e poi integrare il tutto rispetto ad :

Quindi la soluzione implicita è:

da cui si ricava facilmente:

Casi particolari[modifica | modifica wikitesto]

Un caso particolare è quello in cui l'equazione assume la forma:

Definendo , allora e . Sostituendo e risolvendo si ottengono due soluzioni:

Un altro caso particolare è quello in cui si ottiene una forma del tipo:

dove sostituendo in si ha una funzione nella sola variabile . Allora, ponendo si ha:

Sostituendo:

se , la soluzione banale è . Altrimenti:

integrando:

cioè:

con .

Equazioni differenziali riconducibili ad esatte[modifica | modifica wikitesto]

Una variante delle equazioni differenziali esatte sono quelle per cui non vale l'uguaglianza delle derivate miste, ossia:

ed è possibile trovare una funzione , detta fattore d'integrazione, tale che:

Esplicitando le derivate:

e risolvendo rispetto a si ottiene:

Se è possibile trovare una funzione di questo tipo, allora si sostituiscono e al posto di e e se ne trovano le soluzioni (implicite). Generalmente questo è molto difficile o impossibile, tuttavia esistono due casi particolari in cui è possibile trovare tale funzione.

Primo caso[modifica | modifica wikitesto]

Il primo metodo di risoluzione consiste nel cercare un fattore d'integrazione tale che

e dunque esplicitando:

Risolvendo rispetto a :

Per quanto detto sopra, la deve essere necessariamente funzione della sola , altrimenti non potrebbe essere nulla la derivata parziale di rispetto ad . La cosa si dimostra ricordando che deve essere uguale a . In questo caso si ha:

che è un'equazione differenziale lineare del primo ordine, la cui soluzione è:

Sostituendo dunque nell'equazione si ottiene:

che si risolve come nel caso precedente. Nulla cambia nel procedimento scegliendo nulla la derivata di rispetto ad , ovviamente scambiando con e con nelle formule sopra.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Sia dato:

Una soluzione banale è . Per le altre soluzioni, le derivate di rispetto ad e di rispetto ad non sono uguali. Provando a calcolare si ha:

Sostituendo:

integrando rispetto ad :

derivando rispetto ad si ottiene . Sostituendo:

la soluzione implicita è:

da cui:

Secondo caso[modifica | modifica wikitesto]

Un secondo metodo consiste nel cercare una tale che:

In questo caso si ha:

che combinate danno:

e sostituendo nell'equazione con le derivate esplicite:

Risolvendo rispetto a si ha:

e con alcuni passaggi si ottiene:

Se si effettua una sostituzione si ha , e perciò:

Per quanto detto, deve essere necessariamente funzione della sola . Quindi:

Sostituendo quindi nell'equazione si ottiene un'equazione esatta, risolubile come in precedenza.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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