Jacques Philippe Marie Binet

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Jacques Binet

Jacques Philippe Marie Binet (Rennes, 2 febbraio 1786Parigi, 12 maggio 1856) è stato un matematico e astronomo francese.

Binet è entrato alla École polytechnique come studente nel 1804; appena laureato, nel 1806, lavorò per il dipartimento Ponts et Chaussées ma l'anno successivo tornò alla École polytechnique come ripetitore di geometria descrittiva. Successivamente fu professore di Meccanica, poi ispettore agli studi.

Nel 1823, succedette a Jean-Baptiste Delambre nella cattedra d'Astronomia al Collège de France. Come Cauchy di cui era amico, Binet era un cattolico convinto e un sostenitore del pretendente al trono di Francia della famiglia dei Borboni. Il governo di luglio lo destituì dalle sue funzioni alla École polytechnique, ma conservò le sue cariche al Collège de France.

I suoi lavori sulla matematica pura, la meccanica e l'astronomia, sono pubblicati sul giornale dell'École polytechniquee e sul Journal di Liouville. A lui si devono importantanti lavori sulla funzione phi di Eulero, sullo studio di espressioni che dipendono dalla Legge dei grandi numeri, sulle proprietà fondamentali delle superfici omofocali di secondo grado, da lui trovate per primo, sui movimenti dei pianeti, sulle equazioni alle differenze finite lineari per le quali ha formulato una interessante teoria.

I suoi lavori sul calcolo matriciale lo hanno portato all'espressione dell'n-esimo termine della successione di Fibonacci.

Nel campo dell'astronomia le sue formule di cinematica danno l'espressione in coordinate polari della velocità e dell'accelerazione dei corpi soggetti ad una accelerazione centrale come i pianeti del sistema solare.


Formula di Binet per la successione di Fibonacci[modifica | modifica sorgente]

Ne fornisce l'n-esimo termine u_n. Questa è definita dalla seguente formula di ricorrenza:

  • u_0 = 0 \;
  • u_1 = 1 \;
  • u_n = u_{n-1} + u_{n-2} \;, per n > 1
u_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Si consideri la frazione

\frac{a^n-b^n}{a-b}, a \neq b

Moltiplicando la (1) per a+b si ottiene:

(a+b)\frac{a^n- b^n}{a-b}= \frac{a^{n+1}+ a^{n}b-ab^n - b^{n+1}}{a-b}=\frac{a^{n+1}- b^{n+1}}{a-b}+ ab\frac{a^{n-1}-b^{n-1}}{a-b}

Riordinando i termini dell’equazione si ha:

\frac{a^{n+1}- b^{n+1}}{a-b}=(a+b)\frac{a^n- b^n}{a-b}- ab\frac{a^{n-1}-b^{n-1}}{a-b} (2)

Posto A_n=\frac{a^n- b^n}{a-b} (3)

dalla (3) segue immediatamente \begin{cases}A_0=0\\A_1=1\end{cases} (4)

Sostituendo la (3) nella (2) abbiamo poi:

A_{n+1}=(a+b) A_n-abA_{n-1} (5)

Se ora cerchiamo due valori a e b tali che:

\begin{cases}a+b=1\\-ab=1\end{cases} (6)

la (5) diventa:

A_{n+1}=A_n+A_{n-1} (7)

Unendo le (6) e la (7) abbiamo esattamente la legge della successione di Fibonacci:

\begin{cases}A_0=0\\A_1=1\\A_{n+1}=A_{n}+A_{n-1}\end{cases} (8)

Troviamo ora i valori a e b.

Riscriviamo le (7) nel modo seguente:

\begin{cases}a+b=1\\ab=-1\end{cases} (9)

Perciò a e b sono sue numeri la cui somma è 1 e il cui prodotto è -1

Di conseguenza a e b soddisfano l’equazione di secondo grado:

x^2-x-1 =0

le cui soluzioni sono:

x_{1,2}=\frac{1\mp\sqrt{5}}{2} (10)

Sostituendo i valori dati dalla (10) nella (3) e scegliendo per a la radice positiva, si ha:

A_n=\frac{\left({\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)^n-\left({\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)^n}{\left({\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)-\left({\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)}

Ossia (con il cambio di notazione F_n=A_n, dato che come abbiamo visto A_n è l'n-esimo termine della successione di Fibonacci):

F_n=\frac{\left({\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)^n-\left({\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)^n}{\sqrt{5}}

che è la formula di Binet

Formule di Binet per il moto centrale[modifica | modifica sorgente]

Sia M un punto mobile soggetto ad una accelerazione puramente centripeta \mathbf a di centro \mathcal{O} e siano (r, \theta) le coordinate polari di M.

La velocità \mathbf v e il vettore accelerazione \mathbf a di M verificano le seguenti equazioni:

  • \mathbf v = 2 \dot A (- \frac{d\kappa}{d \theta} \mathbf n + \kappa \mathbf h) = 2 \dot A \mathbf t \sqrt{({\frac{d\kappa}{d \theta}})^2 + \kappa^2}
  • \mathbf a = -4 \dot A^2 \kappa^2 \mathbf n \left[\frac{d^2\kappa}{d \theta^2}+ \kappa\right]

dove \kappa = \frac{1}{r} è la curvatura normale istantanea della traiettoria, \mathbf n sarebbe il versore radiale \mathbf \rho = \frac{\mathbf r}{r}, che però in questo caso coincide in ogni istante con quello normale \mathbf n = \frac{\mathbf a}{a}, \mathbf h è il versore trasversale, per definizione a lui perpendicolare e \dot A è la velocità areolare, costante di M.

M è un moto piano, poiché per la definizione di accelerazione e velocità e le proprietà del prodotto vettoriale:

\mathbf 0 = \mathbf a \times \mathbf r = \frac{d \mathbf v}{dt} \times \mathbf r = \frac{d (\mathbf v \times \mathbf r)}{dt} - \mathbf v \times \frac{d \mathbf r}{dt} = \frac{d (\mathbf v \times \mathbf r)}{dt} - \mathbf v \times \mathbf v = \frac{d (\mathbf v \times \mathbf r)}{dt}

Ciò equivale a dire che è costante nel tempo il prodotto:

\mathbf v \times \mathbf r = 2 \dot A (- \frac{d\kappa}{d \theta} \mathbf n + \kappa \mathbf h) \times (r \mathbf n) = 2 \dot A \mathbf h \times \mathbf n = 2 \dot A \mathbf b,

dove b risulta in effetti il versore binormale, ricordando che h è linearmente dipendente da t e da n stesso. Ma allora risulta nullo il prodotto misto:

0 = \mathbf v \times \mathbf r \cdot \mathbf r = 2 \dot A \mathbf b \cdot \mathbf r

e quindi r rimane sul piano passante per O che ha inclinazione costante in quanto normale a b.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

La dimostrazione delle due formule di Binet segue dalla regola della catena, ricordando che [1]:\dot \theta = \frac{2 \dot A}{r^2}

\dot r = \frac{dr}{d\theta}\frac{d \theta}{dt}=\frac{dr}{d\theta} \frac{2 \dot A}{r^2} = - 2 \dot A \frac{d (\frac{1}{r})}{d\theta}

Ora, in generale per un moto piano [2]:

\mathbf v = \dot r \mathbf n + \dot \theta r \mathbf h = - 2 \dot A \frac{d (\frac{1}{r})}{d\theta} \mathbf n + 2 \dot A \frac{1}{r}\mathbf h= 2 \dot A (- \frac{d (\frac{1}{r})}{d\theta} \mathbf n + \frac{1}{r}\mathbf h)

Ma allora la derivata seconda vale:

\ddot r = - 2 \dot A \frac{d^2 (\frac{1}{r})}{{d\theta}^2}\frac{d \theta}{dt} =  - \frac{4 {\dot A}^2}{r^2} \frac{d^2 (\frac{1}{r})}{{d\theta}^2}

Quindi poiché per un moto centrale:

\mathbf a = (\ddot r - r \dot \theta^2) \mathbf n = (- \frac{4 {\dot A}^2}{r^2} \frac{d^2 (\frac{1}{r})}{{d\theta}^2} - \frac{4 {\dot A}^2}{r^3}) \mathbf n = - \frac{4 {\dot A}^2}{r^2} (\frac{d^2 (\frac{1}{r})}{{d\theta}^2} + \frac{1}{r}) \mathbf n

Conseguenze[modifica | modifica sorgente]

detta p la quantità di moto del corpo, L il suo momento angolare, F la forza centrale, per la relazione tra velocità areolare e momento angolare:

  • \mathbf p = L \mathbf t \sqrt{({\frac{d\kappa}{d \theta}})^2 + \kappa^2}
  • \mathbf F = -2 L \dot A \kappa^2 \mathbf n \left[\frac{d^2\kappa}{d \theta^2}+ \kappa\right]

Formula di Cauchy-Binet per il determinante[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Formula di Cauchy-Binet.

Altre[modifica | modifica sorgente]

  • Formule additive: \forall a,b \qquad a + b - b = a
  • Formule moltiplicative: \forall a,b \qquad \frac{a}{b}\ \times\ b\ =\ a

Queste formule sono elementari, ma Binet seppe sottolinearne l'importanza.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Vedere velocità areolare
  2. ^ Vedere Teorema di Coriolis

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