Prodotto misto

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Nel calcolo vettoriale un prodotto misto è un'espressione in cui compaiono contemporaneamente prodotti scalari e vettoriali di vettori dello spazio tridimensionale.

Prodotto triplo[modifica | modifica sorgente]

Il prodotto misto di tre vettori equivale al volume del parallelepipedo costruito su questi

Il prodotto misto più noto è il prodotto triplo di tre vettori a, b, c. Si tratta di una espressione in cui compare un prodotto scalare ed un prodotto vettoriale, ad esempio:

\left ( \mathbf a \times \mathbf b \right ) \cdot \mathbf c

Il risultato è uno scalare il cui valore assoluto non dipende né dall'ordine dei tre vettori né dall'ordine delle due operazioni. Il valore assoluto è pari al volume del parallelepipedo costruito sui tre vettori (oppure pari a 6 volte il volume del tetraedro costruito sui tre vettori). Come conseguenza di questa proprietà, supponendo che nessuno dei tre vettori sia nullo, il prodotto triplo è pari a zero se e solo se i vettori sono complanari; per questo motivo, e poiché gode della proprietà commutativa a meno del segno, è comune usare il prodotto triplo come test di complanarità.

Il segno del prodotto triplo dipende dall'ordine dei vettori e delle due operazioni. Una permutazione pari, o ciclica, dei tre vettori non cambia il segno:

(\mathbf a\times \mathbf b) \cdot \mathbf c = (\mathbf b \times \mathbf c) \cdot \mathbf a = (\mathbf c \times \mathbf a) \cdot \mathbf b

Questa proprietà può essere resa in modo formale avvalendosi delle proprietà del determinante. Infatti

\left ( \mathbf a \times \mathbf b \right ) \cdot \mathbf c = \det \begin{vmatrix}a_1 & a_2 & a_3\\b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3\end{vmatrix}

Il segno non cambia neppure se vengono scambiate le due operazioni:

(\mathbf a \times \mathbf b) \cdot \mathbf c = \mathbf a \cdot (\mathbf b \times \mathbf c)

Semplificazioni[modifica | modifica sorgente]

Generalmente, un prodotto misto in cui compaiono due o più prodotti vettoriali può essere trasformato nella somma di vari prodotti misti contenenti al più un prodotto vettoriale. Ad esempio l'espressione

a × (b × c)

può essere semplificata, imponendo una uguaglianza del tipo

a x (b x c) = Aa(b · c) + Bb(c · a) + Cc(a · b).

con incognite A, B e C. Poiché il vettore a × (b × c) appartiene al piano formato dai vettori b e c, vale A = 0. Ponendo a = b = c = i si determina che A + B + C = 0; mentre, ponendo a = b = i e c = j si determina che C = -1. Di conseguenza è B = 1, e si è ottenuta la seguente uguaglianza:

a x (b x c) = b(c · a) - c(a · b).

Analogamente, vale l'uguaglianza seguente:

(a × b) · (a × c) = a2(b · c) - (a · b)(a · c)

dove a2 = a · a.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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