Prodotto misto

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Nel calcolo vettoriale un prodotto misto è un'espressione in cui compaiono contemporaneamente prodotti scalari e vettoriali di vettori dello spazio tridimensionale.

Prodotto triplo[modifica | modifica wikitesto]

Il valore assoluto del prodotto misto di tre vettori è uguale al volume del parallelepipedo costruito su questi

Il prodotto misto più noto è il prodotto triplo di tre vettori a, b, c. Si tratta di una espressione in cui compare un prodotto scalare ed un prodotto vettoriale, ad esempio:

Il risultato è uno scalare il cui valore assoluto non dipende né dall'ordine dei tre vettori né dall'ordine delle due operazioni. Il valore assoluto è pari al volume del parallelepipedo costruito sui tre vettori (oppure pari a 6 volte il volume del tetraedro costruito sui tre vettori). Come conseguenza di questa proprietà, supponendo che nessuno dei tre vettori sia nullo, il prodotto triplo è pari a zero se e solo se i vettori sono complanari; per questo motivo, e poiché gode della proprietà commutativa a meno del segno, è comune usare il prodotto triplo come test di complanarità.

Il segno del prodotto triplo dipende dall'ordine dei vettori e delle due operazioni. Una permutazione pari, o ciclica, dei tre vettori non cambia il segno:

Questa proprietà può essere resa in modo formale avvalendosi delle proprietà del determinante. Infatti

Doppio prodotto vettoriale[modifica | modifica wikitesto]

Generalmente, un prodotto misto in cui compaiono due o più prodotti vettoriali può essere trasformato nella somma di vari prodotti misti contenenti al più un prodotto vettoriale. Ad esempio l'espressione

può essere semplificata, imponendo una uguaglianza del tipo

con incognite A, B e C. Poiché il vettore a × (b × c) appartiene al piano formato dai vettori b e c, vale A = 0. Ponendo a = b = c = i si determina che A + B + C = 0; mentre, ponendo a = b = i e c = j si determina che C = -1. Di conseguenza è B = 1, e si è ottenuta la seguente uguaglianza:

.

Analogamente, vale l'uguaglianza seguente:

dove a2 = a · a.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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