Rappresentazione matriciale delle coniche

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In geometria, una sezione conica può essere rappresentata in forma matriciale, ossia attraverso l'impiego di matrici.

Invarianti delle coniche[modifica | modifica wikitesto]

È possibile definire tre valori associati ad ogni conica, che si definiscono invarianti. Data una conica di equazione:

è possibile associare due matrici A e B:

da cui vengono estrapolati tre numeri:

  • l'invariante cubico , determinante della matrice :
=
  • l'invariante quadratico , determinante della matrice :
=
  • l'invariante lineare , traccia della matrice :
=

L'appellativo "invariante" deriva dal fatto che applicando alla conica una traslazione qualsiasi e/o una rotazione qualsiasi, questi numeri non cambiano.

Gli appellativi "cubico", "quadratico" e "lineare" derivano dal fatto che moltiplicando entrambi i membri dell'equazione della conica per un numero reale non nullo p, gli invarianti risultano moltiplicati rispettivamente per , e . Data l'equazione della conica , detti , e gli invarianti di tale conica e detti , e gli invarianti della conica di equazione con , si hanno le seguenti identità:

(invariante cubico)

(invariante quadratico)

(invariante lineare)

Classificazione metrica delle coniche[modifica | modifica wikitesto]

Basandosi sugli invarianti è possibile classificare le coniche, e quindi stabilire che tipo di oggetto sia, se:

  • la conica è degenere e, in particolare, se:
    • , si riduce a due rette reali distinte
    • , si riduce a
      • coppia di rette reali distinte parallele oppure complesse coniugate senza punti comuni (rango matrice completa =2)
      • coppia di rette reali coincidenti (rango matrice completa =1)
    • , si riduce a due rette immaginarie coniugate.
  • la conica è non degenere e, in particolare, se:
    • è un'iperbole
      • equilatera se
      • non equilatera se
    • è una parabola
    • è un'ellisse
      • reale se è
      • immaginaria se è

Ad esempio, la conica di equazione:, avendo e , è una conica degenere in due rette reali distinte: e .

Riduzione di una conica a forma canonica[modifica | modifica wikitesto]

Essendo fornita l'equazione di una conica del tipo

è possibile agire sui coefficienti, tramite gli invarianti, per ottenere la forma canonica della conica. Per forma canonica di una conica, si intende:

  • per l'ellisse: deve avere come centro l'origine degli assi cartesiani e i suoi fuochi devono essere sull'asse o sull'asse
  • per la parabola: deve avere vertice nell'origine e come asse uno degli assi cartesiani
  • per l'iperbole: deve avere centro nell'origine degli assi e i fuochi devono appartenere all'asse o all'asse .

In generale un'equazione del tipo:, fornisce una conica rototraslata rispetto all'origine degli assi: bisogna quindi ruotare la conica (1º passo) e poi traslarla fino a portare il centro o il vertice nell'origine (2º passo).

  • 1º passo: la rotazione della conica si ottiene tramite l'annullamento del coefficiente di , cioè .

Dopo questa operazione, la conica si riduce nella forma , in cui e si ottengono nel seguente modo: bisogna diagonalizzare la matrice

e si otterrà la matrice

con e autovalori della matrice diagonale.

e sono i coefficienti dei termini quadratici dell'equazione della conica. Nel caso della parabola, o o sarà nullo, in quanto nell'equazione è presente un solo termine quadratico.

  • 2º passo: con la traslazione, se la conica è a centro (un'ellisse o un'iperbole), si ottiene un'equazione del tipo: in cui e sono i valori ricavati con il passo precedente, mentre si ottiene nella maniera seguente:

.

Se la conica è una parabola, si ottiene un'equazione del tipo: in cui: è l'autovalore non nullo e con invariante cubico. Notiamo esplicitamente che per le parabole:

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Ellisse[modifica | modifica wikitesto]

Conica di equazione
Canonica della conica

È data la conica di equazione ; studiando i determinanti di e scopriamo che è un'ellisse. Controllando le derivate parziali dell'equazione, mettendole a sistema ed uguagliandole a 0, otteniamo l'attuale centro dell'ellisse:

Poiché il centro si trova già nell'origine non ci sarà bisogno di traslare la conica. Per ottenere la forma canonica dobbiamo ruotare la conica diagonalizzando ; gli autovalori della forma quadratica sono 5 e 10 e gli autovettori rispettivi sono (1,2) e (-2,1). Incolonnando questi autovettori opportunamente normalizzati in una matrice otteniamo una matrice di rotazione (destrorsa, poiché ):

=

Poiché , si può scrivere:

Andando a sostituire nell'equazione originale della conica otteniamo la nuova equazione , che è la stessa conica di partenza ruotata però in maniera da avere i fuochi (in questo caso) sull'asse . La forma canonica della nostra conica è , con fuochi

Iperbole[modifica | modifica wikitesto]

Conica di equazione
Canonica della conica

È data la conica di equazione ; studiando i determinanti di e scopriamo che è un'iperbole. Controllando le derivate parziali dell'equazione, mettendole a sistema ed uguagliandole a 0, otteniamo l'attuale centro dell'iperbole:

Gli asintoti sono le rette passanti per parallele a quelle ottenute scomponendo la forma quadratica della conica:



Per ottenere la forma canonica si può impiegare la formula

,

con autovalori di ed è:

I nuovi asintoti sono le due rette aventi forma e passanti per l'origine:


I fuochi della forma canonica hanno forma e sono dunque:


Parabola[modifica | modifica wikitesto]

Conica di equazione
Canonica della conica

È data la conica di equazione ; studiando e scopriamo che è una parabola. Diagonalizzando troviamo come autovalori 0 e 2 e come autovettori rispettivi (1,-1) e (1,1). Per trovare il vertice intersechiamo la parabola con una retta ortogonale all'asse della conica: poiché l'asse della parabola è una retta passante per il vertice di direzione parallela all'autovettore relativo all'autovalore nullo (in questo caso (1,-1)), una retta ad essa parallela è senz'altro , quindi una retta ad essa ortogonale è . Dall'intersezione si trovano i punti (0,0) e (2,2); il loro punto medio (1,1) si trova sull'asse. L'asse è quindi la retta parallela a passante per ed è . Intersecando ora l'asse con la parabola troviamo il vertice: . Traslando in modo che sia centrato sull'origine:

l'equazione diventa:

La matrice è matrice di rotazione composta dai due autovettori normalizzati (autoversori):

=

Poiché , si può scrivere:

Andando a sostituire otteniamo la forma canonica , con fuoco e direttrice

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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