Rappresentazione matriciale delle coniche

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In geometria, una sezione conica può essere rappresentata in forma matriciale, ossia attraverso l'impiego di matrici.

Invarianti delle coniche[modifica | modifica sorgente]

È possibile definire tre valori associati ad ogni conica, che si definiscono invarianti. Data una conica di equazione:

\Gamma\left(x,y \right): ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2dx + 2ey + f = 0\;

è possibile associare due matrici A e B:

A=  \begin{bmatrix}
    a & b & d \\
    b & c & e \\
    d & e & f
  \end{bmatrix}
,
B=  \begin{bmatrix}
    a & b \\
    b & c
    \end{bmatrix}

da cui vengono estrapolati tre numeri:

I_3 = det(A) = det\begin{bmatrix}
a & b & d \\
b & c & e \\
d & e & f\end{bmatrix} =  a(cf-e^2)-b(bf-de)+d(be-cd)\;
  • l'invariante quadratico I_2\;, determinante della matrice B:
I_2 = det(B) = det\begin{bmatrix}
a & b \\
b & c \end{bmatrix} = ac-b^2\;
  • l'invariante lineare I_1\;, traccia della matrice B:
I_1 = Tr(B) = Tr \begin{bmatrix}
a & b \\
b & c \end{bmatrix} = a+c\;

L'appellativo "invariante" deriva dal fatto che applicando alla conica una traslazione qualsiasi e/o una rotazione qualsiasi, questi numeri non cambiano.

Gli appellativi "cubico", "quadratico" e "lineare" derivano dal fatto che moltiplicando entrambi i membri dell'equazione della conica per un numero reale non nullo p, gli invarianti risultano moltiplicati rispettivamente per p3, p2 e p. Data l'equazione della conica \Gamma (x,y) = 0, detti I_3, I_2 e I_1 gli invarianti di tale conica e detti I_3^', I_2^' e I_1^' gli invarianti della conica di equazione p \cdot \Gamma (x,y) = 0 con p \ne 0, si hanno le seguenti identità:

I_3^'=p^3 I_3 (invariante cubico)

I_2^'=p^2 I_2 (invariante quadratico)

I_1^'=p I_1 (invariante lineare)

Classificazione metrica delle coniche[modifica | modifica sorgente]

Basandosi sugli invarianti è possibile classificare le coniche, e quindi stabilire se una curva sia un'ellisse, una parabola o un'iperbole:

  • se I_3 = 0\; la conica è degenere e, in particolare:
- se I_2 < 0\;, si riduce a due rette reali distinte
- se I_2 = 0\;, si riduce a
  1. coppia di rette reali distinte parallele oppure complesse coniugate senza punti comuni (rango matrice completa =2)
  2. coppia di rette reali coincidenti (rango matrice completa =1)
- se I_2 > 0\;, si riduce a due rette immaginarie coniugate.
  • se I_3 \ne0\; la conica è non degenere e, in particolare:
- se I_2 < 0\; è un'iperbole
  1. equilatera se I_1 = 0\;
  2. non equilatera se I_1 \ne 0\;
- se I_2 = 0\; è una parabola
- se I_2 > 0\; è un'ellisse
  1. reale se è I_1I_3 < 0\;
  2. immaginaria se è I_1I_3 > 0\;

Ad esempio, la conica di equazione:x^2-x = 0\;, avendo I_3 = 0\; e I_2 = 0 \;, è una conica degenere in due rette reali distinte: x = 0\; e x = 1\;.

Riduzione di una conica a forma canonica[modifica | modifica sorgente]

Essendo fornita l'equazione di una conica del tipo

ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2dx + 2ey + f = 0\;

è possibile agire sui coefficienti, tramite gli invarianti, per ottenere la forma canonica della conica. Per forma canonica di una conica, si intende:

  • per l'iperbole: deve avere centro nell'origine degli assi e i fuochi devono appartenere all'asse x\; o all'asse y\;.

In generale un'equazione del tipo:ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2dx + 2ey + f = 0\;, fornisce una conica rototraslata rispetto all'origine degli assi: bisogna quindi ruotare la conica (1º passo) e poi traslarla fino a portare il centro o il vertice nell'origine (2º passo).

  • 1º passo: la rotazione della conica si ottiene tramite l'annullamento del coefficiente di xy\;, cioè 2b\;.

Dopo questa operazione, la conica si riduce nella forma \lambda_1x^2+\lambda_2y^2+2dx+2ey+f = 0\;, in cui \lambda_1\; e \lambda_2\; si ottengono nel seguente modo: bisogna diagonalizzare la matrice

B = \begin{bmatrix}
a & b \\
b & c \end{bmatrix}

e si otterrà la matrice

B' = \begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 \\
0 & \lambda_2 \end{bmatrix}

con \lambda_1\; e \lambda_2\; autovalori della matrice diagonale.

\lambda_1\; e \lambda_2\; sono i coefficienti dei termini quadratici dell'equazione della conica. Nel caso della parabola, o \lambda_1\; o \lambda_2\; sarà nullo, in quanto nell'equazione è presente un solo termine quadratico.

  • 2º passo: con la traslazione, se la conica è a centro (ellisse o un'iperbole) si ottiene un'equazione del tipo:\lambda_1x^2+\lambda_2y^2+\lambda_3 = 0\; in cui \lambda_1\; e \lambda_2\; sono i valori ricavati con il passo precedente, mentre \lambda_3\; si ottiene nella maniera seguente:

\lambda_3 = {\frac{I_3}{I_2}}\;

Se la conica è una parabola,si ottiene un'equazione del tipo:\lambda_1x^2+2\lambda_3y = 0\;
in cui :\lambda_1\; è l'autovalore non nullo e \lambda_3 = \pm \sqrt {\left| {\frac{{{I_3}}}{{{\lambda _1}}}} \right|}\; con I_3 invariante cubico. Notiamo esplicitamente che per le parabole :\lambda_1=I_1= a+c\;

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Ellisse[modifica | modifica sorgente]

Conica di equazione 9x^2-4xy+6y^2-3=0
Canonica della conica 9x^2-4xy+6y^2-3=0

È data la conica di equazione \Gamma(x,y)=9x^2-4xy+6y^2-3=0; studiando i determinanti di A e B scopriamo che è un'ellisse. Controllando le derivate parziali dell'equazione, mettendole a sistema ed uguagliandole a 0, otteniamo l'attuale centro dell'ellisse:

\left\{\begin{matrix}{\partial \Gamma \over \partial x} = 18x-4y=0\\
                           {\partial \Gamma \over \partial y} = -4x+12y=0 \end{matrix}\right.
\Rightarrow C(0,0)

Poiché il centro si trova già nell'origine non ci sarà bisogno di traslare la conica. Per ottenere la forma canonica dobbiamo ruotare la conica diagonalizzando B; gli autovalori della forma quadratica sono 5 e 10 e gli autovettori rispettivi sono (1,2) e (-2,1). Incolonnando questi autovettori opportunamente normalizzati in una matrice P otteniamo una matrice di rotazione (destrorsa, poiché det(P)=1):

P = \begin{bmatrix} {1 \over \sqrt{5}} & {-2 \over \sqrt{5}} \\
                          {2 \over \sqrt{5}} & {1 \over \sqrt{5}} \end{bmatrix} = \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \begin{bmatrix} 1 & -2 \\
                                                        2 & 1 \end{bmatrix}

Poiché  (x,y)^T = P(\tilde{x}, \tilde{y})^T , si può scrivere:

\left \{ \begin{matrix} x = \frac{1}{\sqrt{5}} (\tilde{x} - 2 \tilde{y})\\
                              y = \frac{1}{\sqrt{5}} (2 \tilde{x} + \tilde{y}) \end{matrix}\right.

Andando a sostituire nell'equazione originale della conica otteniamo la nuova equazione 5\tilde{x}^2+10\tilde{y}^2-3=0, che è la stessa conica di partenza ruotata però in maniera da avere i fuochi (in questo caso) sull'asse x. La forma canonica della nostra conica è {5 \over 3}X^2 + {10 \over 3}Y^2 = 1, con fuochi F_1 = \left ( - \sqrt{ \frac{3}{10} } , 0 \right ), F_2 = \left ( \sqrt{ \frac{3}{10} } , 0 \right )

Iperbole[modifica | modifica sorgente]

Conica di equazione 4xy+3y^2+2x+4y=0
Canonica della conica 4xy+3y^2+2x+4y=0

È data la conica di equazione \Gamma(x,y)=4xy+3y^2+2x+4y=0; studiando i determinanti di A e B scopriamo che è un'iperbole. Controllando le derivate parziali dell'equazione, mettendole a sistema ed uguagliandole a 0, otteniamo l'attuale centro dell'iperbole:

\left\{\begin{matrix}{\partial \Gamma \over \partial x} = 4y+2=0\\
                           {\partial \Gamma \over \partial y} = 4x+6y+4=0 \end{matrix}\right.
\Rightarrow C \left( - \frac{1}{4} , - \frac{1}{2} \right)

Gli asintoti sono le rette passanti per C parallele a quelle ottenute scomponendo la forma quadratica della conica:

4xy+3y^2=y(4x+3y)
\Rightarrow r_1: y = - \frac{1}{2}
\Rightarrow r_2: 4x+3y=4 \left( - \frac{1}{4} \right) + 3 \left( - \frac{1}{2} \right) = - \frac{5}{2}

Per ottenere la forma canonica si può impiegare la formula

\lambda_1 X^2 + \lambda_2 Y^2 + \left ( \frac{I_3}{I_2} \right) = 0,

con \lambda_1 = 4, \lambda_2 = -1 autovalori di B ed è:

4X^2-Y^2 - \frac{5}{4} = 0

I nuovi asintoti sono le due rette aventi forma x=y \left( \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right) e passanti per l'origine:

r'_1:x= \frac{y}{2}
r'_2:x= - \frac{y}{2}

I fuochi della forma canonica hanno forma (\pm \sqrt{a^2 + b^2}, 0 ) e sono dunque:

F_1 = \left( - \frac{5}{4}, 0 \right)
F_2 = \left ( \frac{5}{4}, 0 \right)

Parabola[modifica | modifica sorgente]

Conica di equazione x^2+2xy+y^2-8x=0
Canonica della conica x^2+2xy+y^2-8x=0

È data la conica di equazione \Gamma(x,y)=x^2+2xy+y^2-8x=0; studiando I_3 e I_2 scopriamo che è una parabola. Diagonalizzando B troviamo come autovalori 0 e 2 e come autovettori rispettivi (1,-1) e (1,1). Per trovare il vertice V intersechiamo la parabola con una retta ortogonale all'asse della conica: poiché l'asse della parabola è una retta passante per il vertice V di direzione parallela all'autovettore relativo all'autovalore nullo (in questo caso (1,-1)), una retta ad essa parallela è senz'altro x=-y, quindi una retta ad essa ortogonale è x=y. Dall'intersezione si trovano i punti A(0,0) e B(2,2); il loro punto medio M(1,1) si trova sull'asse. L'asse è quindi la retta parallela a x=-y passante per M ed è x+y=2. Intersecando ora l'asse con la parabola troviamo il vertice: V(1/2,3/2). Traslando in modo che V sia centrato sull'origine:

\left \{ \begin{matrix} \tilde{x} = x - \frac{1}{2} \\
                              \tilde{y} = y - \frac{3}{2} \end{matrix}\right.

l'equazione diventa:

(\tilde{x} + \tilde{y})^2 - 4\tilde{x} + 4\tilde{y} = 0

La matrice P è matrice di rotazione composta dai due autovettori normalizzati (autoversori):

P = \begin{bmatrix} {1 \over \sqrt{2}} & {-1 \over \sqrt{2}} \\
                          {1 \over \sqrt{2}} & {1 \over \sqrt{2}} \end{bmatrix} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \begin{bmatrix} 1 & -1 \\
                                                        1 & 1 \end{bmatrix}

Poiché  (x,y)^T = P(\tilde{x}, \tilde{y})^T , si può scrivere:

\left \{ \begin{matrix} x = \frac{1}{\sqrt{2}} (\tilde{x} - \tilde{y})\\
                              y = \frac{1}{\sqrt{2}} (\tilde{x} + \tilde{y}) \end{matrix}\right.

Andando a sostituire otteniamo la forma canonica  2 \sqrt{2} X = Y^2, con fuoco F \left(\frac{\sqrt{2}}{2},0 \right) e direttrice d: x = -\frac{\sqrt{2}}{2}

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica