Eccentricità (matematica)

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L'eccentricità in matematica è un parametro numerico positivo e che caratterizza le sezioni coniche a meno di similitudine: ellissi per e<1, parabole per e=1, iperboli per e>1

L'eccentricità può essere definita come un parametro che interviene nella costruzione di una conica, oppure in funzione degli angoli del cono e del piano che lo seziona, rispetto all'asse di rotazione del cono. Siccome il "tipo" di conica (la sua classe di similitudine) e le sue caratteristiche sono definiti in funzione dell'eccentricità, questa può essere ricavata indirettamente dalle formule.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Il rapporto fra la semidistanza focale e semiasse traverso e=c/a

Costruzione geometrica[modifica | modifica sorgente]

Fissati nel piano una retta r (direttrice) e un punto F (fuoco) esterno a r, una conica di eccentricità e>0 è il luogo dei punti P che hanno distanza dal fuoco pari ad e volte la loro distanza dalla direttrice:

d(P,F)=e\cdot d(P,r).

Sezione conica[modifica | modifica sorgente]

Fissati nello spazio un cono circolare retto di apertura α (l'angolo tra l'asse di rotazione e la retta generatrice del cono) e un piano non passante per il vertice e che forma un angolo β con l'asse di rotazione del cono, l'eccentricità della sezione conica è il rapporto tra i coseni dei due angoli

e=\frac{\cos\beta}{\cos\alpha}

Classificazione[modifica | modifica sorgente]

Ellisse[modifica | modifica sorgente]

Per e<1, ovvero \beta>\alpha, si ha un'ellisse, uno dei cui due fuochi è F.

Scrivendo l'equazione dell'ellisse in forma canonica

\left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2=1,

l'eccentricità e, l'asse maggiore 2a, l'asse minore 2b e la distanza interfocale 2c sono legati tra loro dalle formule

a^2=b^2+c^2
b^2=(1-e^2)a^2
c=ea.

Invertendo le formule si può esprimere l'eccentricità come

e=\sqrt{1-\left(\tfrac{b}{a}\right)^2}
e=\frac{c}{a}.

L'eccentricità fornisce dunque una misura di quanto l'ellisse sia "schiacciata", anche se in maniera meno diretta del rapporto a/b tra i semiassi. In particolare per e=0, ovvero a=b, l'ellisse diventa una circonferenza (solo come sezione conica: con la costruzione geometrica si ottiene il solo punto F).

Parabola[modifica | modifica sorgente]

Per e=1, ovvero \beta=\alpha si ottiene una parabola avente fuoco F e direttrice r: è il luogo dei punti equidistanti da F e da r.

Iperbole[modifica | modifica sorgente]

Per e>1, ovvero \beta<\alpha, si ha un'iperbole, uno dei cui due fuochi è F.

Scrivendo l'equazione dell'iperbole in forma canonica

\left(\frac{x}{a}\right)^2-\left(\frac{y}{b}\right)^2=1

con asintoti

y=\pm\frac{b}{a}x

l'eccentricità e, la distanza tra i vertici 2a, i coefficienti angolari ±b/a degli asontoti e la distanza interfocale 2c sono legati tra loro dalle formule

a^2+b^2=c^2,\qquad b^2=(e^2-1)a^2,\qquad c=ea.

Invertendo le formule si può esprimere l'eccentricità come

e=\sqrt{1+\left(\tfrac{b}{a}\right)^2},\qquad e=\frac{c}{a}.

L'eccentricità fornisce dunque una misura di quanto l'iperbole sia "schiacciata", anche se in maniera meno diretta dei coefficienti angolari ±a/b degli asintoti. In particolare per e=\sqrt{2}, ovvero a=b, l'iperbole è equilatera (questo è possibile solo se cos(α)=cos(β)/√2≤1/√2=cos(π/4), ovvero per α≥π/4.)

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


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