Eccentricità (matematica)

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L'eccentricità in matematica è un parametro numerico non negativo e che caratterizza le sezioni coniche a meno di similitudine: ellissi per e<1, parabole per e=1, iperboli per e>1

L'eccentricità può essere definita come un parametro che interviene nella costruzione di una conica, oppure in funzione degli angoli del cono e del piano che lo seziona, rispetto all'asse di rotazione del cono. Siccome il "tipo" di conica (la sua classe di similitudine) e le sue caratteristiche sono definiti in funzione dell'eccentricità, questa può essere ricavata indirettamente dalle formule.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Il rapporto fra la semidistanza focale e semiasse traverso e=c/a

Costruzione geometrica[modifica | modifica wikitesto]

Fissati nel piano una retta r (direttrice) e un punto F (fuoco) esterno a r, una conica di eccentricità e>0 è il luogo dei punti P che hanno distanza dal fuoco pari ad e volte la loro distanza dalla direttrice:

Sezione conica[modifica | modifica wikitesto]

Fissati nello spazio un cono circolare retto di apertura α (l'angolo tra l'asse di rotazione e la retta generatrice del cono) e un piano non passante per il vertice, che forma un angolo β con l'asse di rotazione del cono; l'eccentricità della sezione conica è definita come:

Classificazione[modifica | modifica wikitesto]

Ellisse[modifica | modifica wikitesto]

Per , ovvero , si ha un'ellisse, uno dei cui due fuochi è F.

Scrivendo l'equazione dell'ellisse in forma canonica

l'eccentricità e, l'asse maggiore 2a, l'asse minore 2b e la distanza interfocale 2c sono legati tra loro dalle formule

Invertendo le formule si può esprimere l'eccentricità come

L'eccentricità fornisce dunque una misura di quanto l'ellisse sia "schiacciata", anche se in maniera meno diretta del rapporto a/b tra i semiassi. In particolare per , ovvero a=b, l'ellisse diventa una circonferenza (solo come sezione conica: con la costruzione geometrica si ottiene il solo punto F).

Parabola[modifica | modifica wikitesto]

Per , ovvero si ottiene una parabola avente fuoco F e direttrice r: è il luogo dei punti equidistanti da F e da r.

Iperbole[modifica | modifica wikitesto]

Per , ovvero , si ha un'iperbole, uno dei cui due fuochi è F.

Scrivendo l'equazione dell'iperbole in forma canonica

con asintoti

l'eccentricità e, la distanza tra i vertici 2a, i coefficienti angolari ±b/a degli asontoti e la distanza interfocale 2c sono legati tra loro dalle formule

Invertendo le formule si può esprimere l'eccentricità come

L'eccentricità fornisce dunque una misura di quanto l'iperbole sia "schiacciata", anche se in maniera meno diretta dei coefficienti angolari ±a/b degli asintoti. In particolare per , ovvero a=b, l'iperbole è equilatera (questo è possibile solo se cos(α)=cos(β)/√2≤1/√2=cos(π/4), ovvero per α≥π/4.)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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