Legge di annullamento del prodotto

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In algebra elementare la legge di annullamento del prodotto afferma che

(se due numeri reali danno prodotto zero allora almeno uno dei due fattori è zero.)

Si può generalizzare questo concetto in algebra astratta, nella teoria degli anelli, con enunciato pressoché uguale, ove con zero si intenderà lo zero dell'anello[1]. Un anello per cui valga tale legge prende il nome di dominio di integrità.

È possibile dimostrare che la legge di annullamento del prodotto è sicuramente verificata sui corpi, in virtù dell'esistenza dell'elemento inverso rispetto al prodotto per ogni elemento diverso da 0.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si assuma per assurdo che esista una coppia di elementi appartenenti ad un corpo K, entrambi non nulli, tali che .

Post-moltiplicando entrambi i membri per l'elemento inverso di y e applicando le proprietà dei corpi si ottiene:

(proprietà associativa)
, che viola l'ipotesi che entrambi gli elementi fossero non nulli.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ La proprietà inversa, ovvero che per ogni elemento x il prodotto , fa parte delle proprietà di base degli anelli

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


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