Coordinate ellittiche

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Coordinate ellittiche

Le coordinate ellittiche sono coordinate curvilinee ortogonali per lo spazio vettoriale tridimensionale. Esse vengono definite facendo riferimento a due punti localizzati mediante terne coordinate cartesiane come A=(0,0,-a) e B=(0,0,a). Per definirle si fa riferimento alla distanza R = 2a e alle due distanze del generico punto P dai punti A e B che denotiamo rispettivamente con rA e rB. Adottiamo quindi le coordinate

\mu := {r_A+r_B\over R}
\nu := {r_A-r_B\over R}
\,\phi angolo formato dal piano PAB con il piano y = 0

Queste coordinate hanno i seguenti campi di variabilità

1 \leq \mu < +\infty \qquad -1 \leq \nu \leq +1 \qquad 
0 \leq \phi < 2\pi .

Le espressioni delle coordinate cartesiane a partire dalle ellittiche sono

x = a \sqrt{(\mu^2-1)(1-\nu^2)} \cos\phi
y = a \sqrt{(\mu^2-1)(1-\nu^2)} \sin\phi
z \,=\, a\mu\nu .

Le superfici relative a valori fissati di μ sono ellissoidi di rotazione aventi i fuochi in A e B, quelle relative a valori fissati di ν sono iperboloidi di rotazione aventi i fuochi in A e B e le superfici relative a valori fissati di φ sono semipiani definiti dall'asse delle z.

Per il volume infinitesimale si ha

 dV = a^3 (\mu^2-\nu^2) d\mu\,d\nu\,d\phi .

Per l'operatore di Laplace

\nabla^2 = {1\over a^2(\mu^2-\nu^2)} \cdot

\left\{ 
 {\partial\over\partial\mu} \left[(\mu^2-1){\partial\over\partial\mu}\right] +
 {\partial\over\partial\nu} \left[(1-\nu^2){\partial\over\partial\nu}\right] +
 {\mu^2-\nu^2 \over (\mu^2-1)(1-\nu^2)} {\partial^2 \over \partial\phi^2}
 \right\}

Le coordinate ellittiche risultano vantaggiose per lo studio di sistemi fisici che presentano due corpi puntiformi che si mantengono a distanza costante (2a). In particolare esse facilitano la trattazione quantistica dello ione H2+.


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