Ellissoide

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Rappresentazione di un ellissoide

In geometria, per ellissoide si intende il tipo di quadrica che costituisce l'analogo tridimensionale della ellisse nelle due dimensioni.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Ellissoide

L'equazione dell'ellissoide standard in un sistema di coordinate cartesiane Oxyz è

,

dove a, b e c sono numeri reali positivi fissati che determinano la forma dell'ellissoide (semiassi). Se due di questi numeri sono uguali, l'ellissoide si dice sferoide o ellissoide di rotazione; se tutti e tre sono uguali, abbiamo una sfera.

Se ci limitiamo a considerare le possibilità consentite da , abbiamo la seguente casistica:

  • , si ha un ellissoide scaleno;
  • , si ha uno sferoide prolato (a forma di pallone da rugby);
  • , si ha uno sferoide oblato (a forma di lenticchia);
  • , si ha una sfera, come già segnalato.

Si definiscono assi centrali di inerzia gli assi di simmetria dell'ellissoide che formano un sistema di riferimento centrato nel baricentro dell'ellissoide.

Parametrizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Utilizzando le coordinate comuni, dove è un punto di latitudine riduzione, o parametrico, e è la sua longitudine planetografica, un ellissoide può essere parametrizzato nel seguente modo:

(Si noti che questa non è parametrizzazione 1-1 ai poli, dove )

Oppure, utilizzando il sistema di coordinate sferiche, dove è la colatitudine, detta anche zenit, e è la longitudine di 360°, detta anche azimuth:

Volume[modifica | modifica wikitesto]

Il volume di un ellissoide si ottiene semplicemente da quello di una sfera e dall'effetto delle omotetie:

Area superficiale[modifica | modifica wikitesto]

L'area superficiale, invece, è fornita da espressioni molto più elaborate. Una espressione esatta è:

dove:

mentre , denotano gli integrali ellittici incompleti di primo e secondo genere rispettivamente.

Sono disponibili anche espressioni approssimate:

  • ellissoide piatto:
  • sferoide prolato:
  • sferoide oblato:
  • ellissoide scaleno:

Se si utilizza p = 1,6075 si ha un errore relativo al più dell'1,061% (formula di Knud Thomsen); un valore p = 8/5 = 1,6 è ottimale per gli ellissoidi quasi sferici e presenta un errore relativo inferiore all'1,178% (formula di David W. Cantrell).

Manipolazioni lineari[modifica | modifica wikitesto]

Se si applica una trasformazione lineare invertibile ad una sfera, si ottiene un ellissoide; in conseguenza del teorema spettrale questo ellissoide si può ricondurre alla forma standard.

L'intersezione di un ellissoide con un piano può essere o l'insieme vuoto, o un insieme contenente un singolo punto, o una ellisse.

Dimensioni superiori[modifica | modifica wikitesto]

Si può anche definire un ellissoide in più di 3 dimensioni, come immagine di un'ipersfera sottoposta ad una trasformazione lineare invertibile. Il teorema spettrale garantisce ancora la possibilità di ottenere una equazione standard della forma

.

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