Cono

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Un cono

Un cono, in geometria e nell'uso comune, è un solido ottenuto ruotando un triangolo rettangolo intorno ad uno dei suoi cateti, quello che sarà l'asse del cono. Il cerchio ottenuto dalla rotazione dell'altro cateto è detto base. L'estremo dell'asse che non si trova sulla base è detto apice o vertice. Un oggetto di forma simile a un cono è detto conico. In matematica un cono può essere considerato una piramide di base circolare e dove perciò il numero delle facce oblique è infinito.

Nomenclatura[modifica | modifica sorgente]

Un cono circolare retto ed un cono circolare obliquo. Nel primo l'apotema è colorato in giallo. Nel secondo, l'altezza h non cade nel centro del cerchio di base, essendo l'asse a non ortogonale. L'apotema è colorato in viola.

Un cono il cui vertice è tagliato da un piano parallelo alla sua base è detto tronco di cono. Il termine cono viene talvolta esteso a figure più generali:

  • Un cono ellittico è un cono che ha per base un'ellisse. Analogamente, un cono circolare ha come base un cerchio.
  • Un cono obliquo è un cono che non ha l'asse ortogonale alla base. Un cono retto ha l'asse ortogonale.
  • Un cono equilatero è un cono che ha l'apotema equivalente al diametro di base.


Il termine "cono" senza ulteriori specificazioni indica generalmente un cono circolare retto.

Formule[modifica | modifica sorgente]

Volume[modifica | modifica sorgente]

Il volume V di un cono con altezza h e con base di raggio r è {{1\over 3}} del volume del cilindro che ha le stesse dimensioni. Quindi:

V= {{\pi \cdot r^2 \cdot h \over 3}}.

Se la base è ellittica di assi X e Y:

V= {{\pi \cdot XY \cdot h \over 3}}.

Si può calcolare il volume del cono per mezzo del calcolo integrale come il volume del solido ottenuto dalla rotazione di una retta y=mx con coefficiente angolare positivo (per semplicità passante per l'origine degli assi) attorno all'asse delle ascisse. Si ha:

V=\int_0^h\pi (mx)^2 dx,
V= {{\pi \cdot m^2 \cdot h^3 \over 3}}.

Essendo \gamma l'angolo acuto formato dalla retta y=mx con l'asse delle ascisse, da considerazioni trigonometriche si ha che:

r=  h \cdot \tan \gamma,

e poiché il coefficiente angolare m è uguale alla tangente goniometrica di \gamma, elevando al quadrato ambo i membri della precedente equazione si ha:

r^2= m^2h^2,

da cui si ottiene:

V= {{\pi \cdot r^2 \cdot h \over 3}}.

Superficie totale[modifica | modifica sorgente]

La superficie totale di un cono è data dalla somma della superficie della base S_b con la superficie laterale S_l:

S_t=S_b+S_l

dove:

S_b=\pi \cdot r^2
S_l= \pi \cdot r \cdot a

avendo definito l'apotema a del cono come la radice positiva dell'espressione:

a = \sqrt{{r^2+h^2}}.

Sostituendo nella formula, si ottiene infine:

S_t=\pi r (r+a)

Centro di massa[modifica | modifica sorgente]

Il centro di massa di un cono di densità uniforme è sull'asse, ad altezza {{1\over 4}} h, partendo dalla base.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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