Solido di rotazione

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Un toro

In matematica, e in particolare in geometria, un solido di rotazione o di rivoluzione è la figura ottenuta ruotando attorno ad un asse una regione piana , sul cui piano giace l'asse stesso.

Ad esempio, il toro è ottenuto dalla rotazione di un cerchio attorno ad un asse esterno al cerchio medesimo.

Solidi ottenuti dalla rotazione di trapezodi[modifica | modifica wikitesto]

La figura piana che ruota è spesso un trapezoide con la base sull'asse. La sfera ad esempio è il solido di rotazione del semicerchio intorno al diametro; il cilindro è generato dal rettangolo.

Rotazione di una curva

In questo caso il solido è delimitato da una superficie laterale ottenuta ruotando una curva attorno all'asse (superficie di rotazione), ed eventualmente da due basi circolari perpendicolari a tale asse.

Definizione come luogo di punti[modifica | modifica wikitesto]

A meno di rotazioni dello spazio tridimensionale, l'asse si può considerare coincidente con in modo da poter esprimere il solido in coordinate cilindriche:

dove e sono due valori reali con , la funzione è il raggio del cilindro di asse e la funzione è una funzione non negativa e continua, il cui grafico è la curva della definizione che giace sul piano .

Volume e superficie[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Teoremi di Pappo-Guldino.

Il volume del solido si può ottenere idealmente "tagliandolo" in dischi di spessore "infinitesimo" lungo l'asse (teorema di Fubini). Il disco corrispondente a ha volume uguale all'area del cerchio di raggio moltiplicata per lo spessore . Quindi sommando i vari contributi infinitesimi (ovvero integrando) si ha

La superficie è invece data da:

Se il solido è dato da

cioè la figura da ruotare è compresa tra due funzioni non negative, allora il volume è

Il volume del solido, se ottenuto tramite rotazione rispetto all'asse , con , si può calcolare pensandolo come la somma delle superfici laterali dei cilindri di asse , raggio e altezza . Quindi sommando rispetto a (cioè integrando), si ha:

Nel caso la figura da ruotare sia compresa tra due funzioni, allora si ha:

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