Solido di rotazione

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Un toro

In matematica, e in particolare in geometria, un solido di rotazione o di rivoluzione è la figura ottenuta ruotando attorno ad un asse n una regione piana K, sul cui piano giace l'asse stesso.

Ad esempio, il toro è ottenuto dalla rotazione di un cerchio attorno ad un asse esterno al cerchio medesimo.

Solidi ottenuti dalla rotazione di trapezodi[modifica | modifica wikitesto]

La figura piana che ruota è spesso un trapezoide con la base sull'asse. La sfera ad esempio è il solido di rotazione del semicerchio intorno al diametro; il cilindro è generato dal rettangolo.

Rotazione di una curva

In questo caso il solido è delimitato da una superficie laterale ottenuta ruotando una curva attorno all'asse (superficie di rotazione), ed eventualmente da due basi circolari perpendicolari a tale asse.

Definizione come luogo di punti[modifica | modifica wikitesto]

A meno di rotazioni dello spazio tridimensionale, l'asse si può considerare coincidente con x in modo da poter esprimere il solido in coordinate cilindriche:

T= \{(x,y,z) \in \R^3 | \ a \le x \le b \and 0 \leq \sqrt{y^2+z^2} \leq f(x) \},

dove a e b sono due valori reali con a<b, la funzione \rho=\rho(y,z)=\sqrt{y^2+z^2} è il raggio del cilindro di asse x e la funzione f\colon [a,b]\to\R è una funzione non negativa e continua, il cui grafico è la curva della definizione che giace sul piano xy.

Volume e superficie[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Teoremi di Pappo-Guldino.

Il volume V del solido T si può ottenere idealmente "tagliandolo" in dischi di spessore "infinitesimo" dx lungo l'asse x (teorema di Fubini). Il disco corrispondente a x ha volume uguale all'area del cerchio di raggio f(x) moltiplicata per lo spessore dx. Quindi sommando i vari contributi infinitesimi dx (ovvero integrando) si ha

V=\int_a^b\pi f(x)^2 \,dx.

La superficie è invece data da:

A=2\pi\int_a^b f(x) \sqrt{1+f'(x)^2} \, dx.

Se il solido è dato da

T= \{(x,y,z) \in \R^3 | \ a \le x \le b \and 0\leq g(x) \leq \sqrt{y^2+z^2} \leq f(x) \},

cioè la figura da ruotare è compresa tra due funzioni non negative, allora il volume è

V=\int_a^b\pi \left(f(x)^2 -g(x)^2\right)dx.

Il volume del solido, se ottenuto tramite rotazione rispetto all'asse y, con a>0, si può calcolare pensandolo come la somma delle superfici laterali dei cilindri di asse y, raggio x e altezza f(x). Quindi sommando rispetto a dx (cioè integrando), si ha:

V = 2\pi \int_a^b xf(x)\,dx.

Nel caso la figura da ruotare sia compresa tra due funzioni, allora si ha:

V = 2\pi \int_a^b x\vert f(x) - g(x)\vert\,dx.

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