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Sezione aurea

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Sezione aurea
Simbolo \phi
Valore 1,6180339887...
(sequenza A001622 dell'OEIS)
Frazione continua [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...]
(sequenza A000012 dell'OEIS)
Insieme numeri algebrici irrazionali
Costanti correlate Costante di Viswanath
Sezione aurea.png
L'intera linea (c) sta al segmento più lungo (a) come questo (a) sta al segmento più corto (b), ovvero c : a = a : b = φ

La sezione aurea o rapporto aureo o numero aureo o costante di Fidia o proporzione divina, nell'ambito delle arti figurative e della matematica, indica il rapporto fra due lunghezze disuguali, delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due. In formule, se a è la lunghezza maggiore e b quella minore,

b:a=a:(a+b)

Lo stesso rapporto esiste anche tra la lunghezza minore e la loro differenza:

a:b=b:(a-b)

In formule, indicando con a la lunghezza maggiore e con b la lunghezza minore, vale la relazione:

\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}=\frac{b}{a-b}

Tale rapporto vale approssimativamente 1,6180 ed è esprimibile per mezzo della formula:

\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\approx 1{,}6180339887

Un altro modo per calcolare il valore del numero aureo può essere ricavato dalla costruzione del rettangolo aureo; si può dedurre che equivale a:

0,5 + \sqrt{1,25}\ = 1,6180339887498948482045868343656...

Il valore così definito, che esprime la sezione aurea, è un numero irrazionale (cioè non rappresentabile come frazione di numeri interi) e algebrico (ovvero soluzione di un'equazione polinomiale a coefficienti interi). Esso può essere approssimato, con crescente precisione, dai rapporti fra due termini successivi della successione di Fibonacci, a cui è strettamente collegato.

Sia le sue proprietà geometriche e matematiche, che la frequente riproposizione in svariati contesti naturali e culturali, apparentemente non collegati tra loro, hanno suscitato per secoli nella mente dell'uomo la conferma dell'esistenza di un rapporto tra macrocosmo e microcosmo, tra Dio e l'uomo, l'universo e la natura: un rapporto tra il tutto e la parte che si ripeteva all'infinito tra la stessa parte più grande e la più piccola, e così di seguito attraverso ulteriori suddivisioni.[1] Diversi filosofi ed artisti sono arrivati a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia, spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell'ambiente antropico quale "canone di bellezza"; testimonianza ne è la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di "aureo" o "divino".

Cenni storici[modifica | modifica wikitesto]

A livello storico vi sono diverse questioni aperte riguardo se e quali popoli, prima dei greci, conoscessero la sezione aurea e la utilizzassero consapevolmente nelle loro opere. I casi più importanti sono quelli legati ai babilonesi e agli egizi.

Babilonia[modifica | modifica wikitesto]

Alcune tavolette, riportanti calcoli computazionali, testimoniano nei Babilonesi conoscenze sia matematiche che geometriche tali da poter ottenere buone approssimazioni dell'area del pentagono e perfino di pi greco. Anche se mancano prove schiaccianti circa la loro effettiva conoscenza della sezione aurea, eminenti studiosi, fra cui Michael Scheneider[2] e Helen Hedian[3], affermano la sua presenza su steli e bassorilievi: alcuni esempi sarebbero una stele babilonese e una raffigurazione di una divinità alata del IX secolo a.C. (Metropolitan Museoum of Art), la "leonessa morente"[4] di Ninive (600 a.C.).

L'antico Egitto[modifica | modifica wikitesto]

Le ricerche su una possibile conoscenza ed utilizzo del rapporto aureo in epoca pre-ellenica hanno riguardato anche gli antichi Egizi, ai quali soprattutto la letteratura ottocentesca attribuiva conoscenze matematiche ben più avanzate, le cui tracce sarebbero tutt'oggi visibili nei resti di numerosi monumenti. Per quanto attiene al rapporto aureo, il dibattito verte su casi meno conosciuti come quelli dell'Osireion e la Tomba di Petosiri alla ben più famosa piramide di Cheope.

Pianta del Osireion con la geometria pentagonale di Lawlor

Nel primo caso si tratterebbe del monumento funerario del re Seti I (XIX dinastia), riportato alla luce nel 1901 da Flinders Petrie, al riguardo Robert Lawlor asserisce che l'architettura della stanza più interna sarebbe basata su una mistica geometria pentagonale contenente il rapporto aureo, ravvisabile in una serie di intrecci geometrici che si possono estrapolare. Precisamente all'interno della stanza sarebbe possibile disegnare secondo Lawlor due pentagoni contrapposti fino all'esaurimento della lunghezza, mentre la larghezza conterrebbe le circonferenze ad essi circoscrivibili; su tale disegno sarebbero poi ricavabili con altri intrecci da cui giustificare la presenza degli altri elementi architettonici.[5] Si tratta comunque di una interpretazione senza seguito in ambito accademico.

La tomba di Petosiri, sommo sacerdote di Thot, è stata rinvenuta da Gustave Lefebvre nei primi anni venti, e risale al III secolo a.C., quando era già attestata la conoscenza della sezione aurea da parte dei Greci. In questo caso il rapporto aureo sarebbe riscontrato, sempre dallo stesso Lawlor[5], in un bassorilievo raffigurante l'imbalsamazione del sacerdote, anche qui in un intricato intreccio di segni geometrici che richiedono un elevato grado di astrazione rispetto alla figura per essere plausibilmente nelle reali intenzioni dell'autore.[6]

La Grande piramide[modifica | modifica wikitesto]

Il caso largamente più dibattuto riguardante l'Egitto è però la presenza della sezione aurea, e di altre proporzioni particolari,[7] nella Piramide di Cheope nella piana di Giza e unica delle sette meraviglie ad essere giunta fino a noi intatta. Il mito esoterico-numerologico che circonda la Grande piramide nasce probabilmente in seguito all'opera di John Taylor, The great pyramid: why was it built and who built it? (La grande piramide: perché fu costruita e chi la costruì), pubblicata nel 1859, e suffragata in seguito dallo studioso, astronomo e piramidologo Charles Piazzi Smyth[8].

Mathematical Pyramid.svg

Il rapporto aureo sussisterebbe in questo caso fra il semilato della piramide e l'altezza della facciata triangolare costruibile sulla stessa, il che porterebbe a un'inclinazione teorica della facciata pari a 51° 49' circa La piramide reale ha un'altezza totale di circa 147 m e lati di 230 m, con una inclinazione della pareti di 51° 50' 35", estremamente simile all'inclinazione teorica, e di fatti, esplicitando i conti, tra il semilato e l'"altezza"[9] reali:

{186{,}64\,m \over 115\,m} = 1{,}6229

Si tratta anche questa volta di valore molto vicino a quello teorico; un tale risultato potrebbe effettivamente costituire una prova di una reale conoscenza da parte degli egizi della sezione aurea, ma potrebbe anche essere un'inconsapevole conseguenza del modo in cui è stata costruita, dato che non vi sono riferimenti espliciti negli scritti di Erodoto.[10]

Spiegazione

Il rapporto fra altezza s della facciata e semilato a e uguale a:

\frac{s}{a} = \phi;

e questo perché l'area della triangolare T (=sa) della facciata e uguale al quadrato dell'altezza della piramide h^2.

sa = h^2 → applicando il teorema di Pitagora
sa = s^2 - a^2 → riordinando e dividendo per a^2
\left(\frac{s}{a}\right)^2 - \frac{s}{a} - 1 = 0x^2 - x - 1 = 0

siccome questa è l'equazione della sezione aurea ne discende che essa è connaturata in una piramide che venisse fatta secondo le caratteristiche indicate da Erodoto.

L'astronomo Britannico John Herschel scriveva, citando Erodoto, che la «Piramide [di Cheope è] caratterizzata dalla proprietà di avere ciascuna delle facce uguale al quadrato costruito dell'altezza», ora, stante le svariate perplessità circa la corretta interpretazione del passo incriminato, si tratterebbe di una spiegazione alternativa all'ipotesi che essa sia stata inserita volontariamente e coscienziosamente nella piramide di Cheope.

Effettivamente le misure della piramide, 147^2 = 21609 e 115 \cdot 186,64 = 21463,6, sono straordinariamente simili, e parrebbero confermare la citazione, se non fosse che da nessuna parte pure questa trova definitiva conferma.

Non si ritrova infatti nel passo di Erodoto che recita

« Per la costruzione della Piramide occorsero vent'anni. Essa è quadrata.. Presenta da tutti i lati una faccia di otto plettri, un'altezza uguale. È di pietre levigate e perfettamente connesse, di cui nessuna misura meno di trenta piedi. »
(Erodoto, Storie, II, 124:5[11])

Non risulta di fatto alcun riferimento al "quadrato dell'altezza", ma soltanto misurazioni come risultante che da studi condotti da Richard Gillings[12], Roger Fischler e George Markowsky[13], ciononostante la sostanziale equivalenza come rilevata nell'erronea interpretazione del passaggio erodoteo esiste nelle dimensioni della piramide, come sopra evidenziato, ma probabilmente pure in questo caso è da ascrivere a cause non legate alla volontà del progettista e forse perfino ignote a quest'ultimo.

Spiegazioni tecniche sono state trovate legate alle modalità di costruzione: una proposta da Gillings[12], sulla base dei problemi 56 e 60 contenuti nel famoso Papiro Rhind incentrati sui seked - una unità di misura egiziana dell'inclinazione delle superfici laterali - sostiene che il rapporto aureo deriverebbe dalla necessità tecnica di tenere una certa inclinazione costante della parete durante tutta la costruzione della piramide; l'altra, considerata anche la più attendibile[14], fornita invece da Kurt Mendelssohn[15] secondo cui gli egizi utilizzavano due diverse unità di misura: una per grandezze verticali, il cubito, e una per quelle orizzontali, un rullo dal diametro di cubito la cui circonferenza è uguale a pi greco cubiti, dalla combinazione dei due emergerebbe naturalmente il numero aureo.[16]

Sia, quindi, che la presenza della sezione aurea derivi dal tentativo di costruire una piramide con le peculiarità attribuitele da alcuni dagli scritti di Erodoto, sia che derivi da mere contingenze costruttive, appare improbabile che derivi da una precisa e voluta scelta dei progettisti; in sostanza nemmeno la più importante della presunte testimonianze della sua conoscenza da parte degli indizi, trova spiegazioni alternative in grado di spiegarne la sua presenza in via del tutto fortuita e inconscia.

Il periodo greco[modifica | modifica wikitesto]

Il pentagono e le sue diagonali.
« La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l'altro è la divisione di un segmento secondo il rapporto medio ed estremo. Possiamo paragonare il primo a una certa quantità d'oro, e definire il secondo una pietra preziosa. »
(Keplero)

La definizione del rapporto aureo viene fissata attorno al VI secolo a.C., ad opera della scuola pitagorica (i discepoli e seguaci di Pitagora), nell'Italia meridionale, dove secondo Giamblico[17] fu scoperto da Ippaso di Metaponto, che associò ad esso il concetto di incommensurabilità.[18]

La definizione di rapporto aureo viene ricondotta allo studio del pentagono regolare; il pentagono è un poligono a 5 lati nel cui numero i pitagorici scorsero l'unione del principio maschile e femminile (rispettivamente nella somma del 2 col 3), tanto da considerarlo il numero dell'amore e del matrimonio.[19]

L'aura magica che i pitagorici associavano al numero 5, e a tutto ciò che vi fosse legato, risultava legata anche a considerazioni di tipo astrologico, in particolare al pianeta Venere, archetipo dell'amore e della vita, che nel suo percorso tra la Terra e il Sole disegna in effetti una stella a cinque punte.[20]

La sezione aurea risulta peraltro strettamente connessa con la geometria del pentagono: in particolare il rapporto aureo è pari al rapporto fra la diagonale \overline{AB} ed il lato \overline{BC}, ma anche fra \overline{AB} e \overline{BD} (questo perché in un pentagono regolare il segmento maggiore delimitato dal vertice del pentagono e dall'intersezione con un'altra diagonale è congruente al lato) e fra \overline{AC'} e \overline{AD}, e a sua volta \overline{AD} e \overline{DC'}, e in un'infinità di relazioni simili, se immaginiamo che nel pentagono centrale possiamo iscrivere una nuova stella a cinque punte (o pentagramma), la quale produrrà a sua volta un nuovo pentagono centrale, in cui ripetere l'iscrizione del pentagramma e così via, seguendo uno schema ricorsivo.

Euclide, intorno al 300 a.C., lasciò la più antica testimonianza scritta sull'argomento. Nel XIII libro dei suoi Elementi,[21] a proposito della costruzione del pentagono, egli fornisce la definizione di divisione di un segmento in "ultima e media ragione"[22] (gr. ἄκρος καὶ μέσος λόγος):

Divisione di un segmento in "media e ultima ragione"

Tale divisione è basata sul semplice concetto di medio proporzionale: un segmento \overline{AB} è infatti diviso in media e ultima ragione dal punto C' se il segmento \overline{AC'} ha con \overline{AB} lo stesso rapporto che \overline{C'B} ha con esso, ovvero se:

\overline{AB} / \overline{AC'} = \overline{AC'} / \overline{C'B}
Immagine del pentagono con evidenziato il "triangolo aureo".

La divisione di un segmento \overline{AB} in media e ultima ragione può essere effettuata costruendo un pentagono regolare, del quale \overline{AB} rappresenta una diagonale e disegnandovi all'interno un "triangolo aureo", ossia un triangolo isoscele la cui base corrisponde al lato del pentagono e i lati uguali alle diagonali congiungenti quest'ultimo al vertice opposto; (i triangoli adiacenti vengono detti "gnomoni aurei").

L'ampiezza dell'angolo interno del pentagono regolare è di 108°[23], ciò significa che gli angoli alla base degli gnomoni aurei, anch'essi isosceli, misurano (180°-108°)/2=36°, e, per differenza, quelli alla base del triangolo aureo 72°. Se ne ricava che il triangolo aureo ha angoli di ampiezza 36°, 72°, 72°; tracciando la bisettrice di un angolo alla base, si ricava un altro triangolo \widehat{DCB}, con l'angolo in D di 36°; l'angolo in B di 72°; il terzo angolo in C sarà a sua volta di 72°. \widehat{DCB} è dunque un altro triangolo aureo.

Per il primo criterio di similitudine sui triangoli, \widehat{ABD} e \widehat{DCB} sono triangoli simili; è quindi:

\overline{AB} / \overline{DB} = \overline{DB} / \overline{BC}

d'altra parte, anche il triangolo \widehat{ACD} è isoscele, perché il suo angolo in D è di 36º come l'angolo in A, risulta quindi:

\overline{AC} = \overline{DC} = \overline{DB}

ottenendo così:

\overline{AB} / \overline{AC} = \overline{AC} / \overline{CB}

Da Fibonacci al Rinascimento[modifica | modifica wikitesto]

Dal declino del periodo ellenistico passarono circa mille anni prima che la sezione aurea tornasse nuovamente a stimolare le menti dei matematici, che in essa rilevarono anche proprietà di natura algebrica, oltre che geometrica.

Nel 1202 Leonardo Fibonacci pubblica il suo Liber abaci, il libro col quale si diffonderanno in Europa le cifre indo-arabe, semplificando le modalità di calcolo nelle operazioni quotidiane.

Rinominando il segmento AC come a, e quello minore CB come b, possiamo reimpostare la proporzione di Euclide nei più familiari termini algebrici, come segue:
{a+b \over a} = {a \over b}=  \phi
ponendo a=b\phi, e sostituendo, si ha:
 {b \phi + b \over b\phi} = {b \phi \over b} \quad \Rightarrow  \quad {\not b (\phi + 1) \over \not b\phi} = {\not b\phi \over \not b} \quad \Rightarrow  \quad \phi + 1 = \phi^2
si arriva alla formulazione finale: \phi^2 - \phi - 1 = 0; un'equazione di secondo grado dotata di una sola soluzione positiva:
\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618\,033


Nel medesimo libro, Fibonacci introdusse pure per la prima volta, involontariamente,[24] il concetto di successione ricorsiva, con la successione:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots

in cui ogni termine è la somma dei due precedenti, la successione di Fibonacci:

0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
1 + 2 = 3;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
\dots ;

che può essere riassunta come segue:

F_{n-2} + F_{n-1} = F_n.

Anche la successione che porta il suo nome resterà indissolubilmente legata alla sezione aurea; la relazione tra queste due tematiche verrà scoperto solo qualche secolo più tardi da un altro matematico durante il Rinascimento.

Il rinnovato interesse per il numero aureo in epoca rinascimentale può essere ascritto ad un altro libro, il De divina proportione di Luca Pacioli (pubblicato a Venezia nel 1509 e corredato di disegni di solidi platonici di Leonardo da Vinci), nel quale si divulgava a una vasta platea di intellettuali l'esistenza del numero e di alcune delle sue numerose proprietà, fino ad allora appannaggio soltanto di una più ristretta cerchia di specialisti. Il medesimo libro sostituiva inoltre la definizione euclidea, unica dicitura col quale il numero veniva chiamato, reinventandone una completamente nuova, cioè proporzione divina, dove l'aggettivo «divina» è dovuto ad un accostamento tra la proprietà di irrazionalità del numero (che lo rende compiutamente inesprimibile per mezzo di una ratio o frazione) e l'inconoscibilità del divino per mezzo della ragione umana:

« Commo Idio propriamente non se po diffinire ne per parolle a noi intendere, così questa nostra proportione non se po mai per numero intendibile asegnare, né per quantità alcuna rationale exprimere, ma sempre fia occulta e secreta e da li mathematici chiamata irrationale.[25] »

La relazione tra il numero aureo e la serie di Fibonacci, rimasta ignota anche a Luca Pacioli, fu scoperta nel 1611 da Keplero, come rilevano i seguenti passi di una sua lettera:

« ... questa proporzione [...] che gli odierni [...] chiamano divina [...] è congegnata in modo tale che i due termini minori di una serie nascente presi insieme formino il terzo, e gli ultimi due addizionati, il termine [a loro] successivo, e così via indefinitamente, dato che la stessa proporzione si conserva inalterata [...] più si va avanti a partire dal numero 1, più l'esempio diventa perfetto. Siano 1 e 1 i termini più piccoli [...] sommandoli, il risultato è 2; aggiungiamo a questo il precedente 1, e otteniamo 3; aggiungiamogli 2, e otteniamo 5; aggiungiamogli 3, e abbiamo 8; 5 e 8 danno 13; 8 e 13 danno 21. Come 5 sta a 8, così, approssimativamente, 8 sta a 13, e come 8 sta a 13 così, approssimativamente, 13 sta a 21.[26] »

Keplero aveva praticamente scoperto che il rapporto fra due numeri consecutivi della successione di Fibonacci approssimava via via, sempre più precisamente, il numero aureo; difatti:

\begin{align}
\cdots && \\
{\frac{55}{34}}   &=& {\color{blue}1{,}61}7\, 647 \\
{\frac{89}{55}}   &=& {\color{blue}1{,}618}\, 182 \\
{\frac{144}{89}}  &=& {\color{blue}1{,}61}7\, 978 \\
{\frac{233}{144}} &=& {\color{blue}1{,}618 \,0}56 \\
{\frac{377}{233}} &=& {\color{blue}1{,}618 \,0}26 \\
{\frac{610}{377}} &=& {\color{blue}1{,}618\, 03}7 \\
{\frac{987}{610}} &=& {\color{blue}1{,}618 \,033} \\
\cdots &&
\end{align}

ma Keplero, quale astronomo, non era forse tanto interessato a dimostrare la fondatezza della sua scoperta,anzi piuttosto a ricercarla nell'architettura dell'universo, che lui invece osserva, nelle sue proprietà "divine"; non a caso concettualizzò un modello eliocentrico in cui le orbite dei pianeti erano inscritte e circoscritte in solidi platonici e di conseguenza legate alla divina proporzione. La dimostrazione fu fornita un secolo più tardi dal matematico Robert Simson e ulteriormente sancita dalla scoperta della formula generatrice della serie di Fibonacci (detta appunto formula di Binet) ad opera di Jacques Binet (anche se probabilmente già nota a Eulero):

F(n) = {{\phi^n-(1- \phi)^n} \over {\sqrt 5}}

Questa formula mostra una successione di indice n di espressioni di numeri irrazionali che per ogni valore dell'indice fornisce un numero intero.

Gli ultimi due secoli[modifica | modifica wikitesto]

Se per molto tempo la sezione aurea venne conosciuta con la definizione euclidea di proporzione media ed estrema, per poi assumere l'aggettivo divina dopo l'uscita dell'opera di Pacioli, non è altrettanto certa l'origine della sua definizione come "aurea".

Nonostante la diffusa ed errata opinione che tale denominazione fosse in auge fin dall'antica Grecia, studiosi di storia della matematica la collocano più verosimilmente attorno al XV - XVI secolo.[27]. La prima testimonianza scritta rintracciabile sembra risalire solo al 1835 nel libro Die Reine Elementar-Mathematik, in cui il matematico tedesco Martin Ohm scrive «è chiamata "sezione aurea"», specificando così di non esserne l'ideatore ma di usare un'espressione già discretamente diffusa. La nuova denominazione si diffuse largamente nei primi anni dell'Ottocento, trovando sempre maggiori riferimenti nelle opere scritte, prima in tedesco e poi in lingua inglese, facilitando così l'internazionalizzazione della formula ed entrando a pieno titolo nell'ambito culturale accademico, anche inizialmente solo come termine legato ancora alla sfera estetica, prima di essere acquisito a pieno titolo nell'ambito matematico ufficiale, come testimonia un articolo di E. Ackermann intitolato The Golden Section (La Sezione Aurea).

La sezione aurea si diffonde nell'Ottocento anche nel campo dell'arte, comparendo nelle opere di molti artisti in cui contrariamente al passato, se ne può affermare la presenza per ammissione dello stesso artista; particolare contributo alla sua diffusione fu dato dalla convinzione che la proporzione aurea, in particolare il rettangolo aureo, costituisse un canone estetico "naturale", per la sua ricorrenza in natura, che studi recenti avevano certificato[senza fonte], e che quindi le sue proporzioni conferissero uno straordinario senso di armonia in tutto ciò che la possedeva.

Non mancarono in tal senso neppure esperimenti psicologici volti proprio ad avvalorare tale tesi, anche se recentemente riprodotti con esiti marcatamente più ambigui e incerti. L'ossessione per la sezione aurea produsse anche serie di ricerche di contenuti originali, come quelle volte a rintracciarne connessione nei mercati azionari, con quella che divenne nota come la teoria delle onde di Ralph Nelson Elliott, o a ritrovare utilizzi pratici surreali come il Modulor.

Sul versante prettamente matematico, nel XX secolo l'avvento del computer e il potenziamento delle capacità di calcolo hanno permesso di ottenere stime sempre più precise del numero irrazionale che rappresenta il rapporto aureo, altrimenti incalcolabile con i soli strumenti della mente umana; il primo tentativo venne effettuato nel 1966 da M. Berg con un IBM 1401, calcolandolo fino alla 4599ª cifra, e successivamente, sempre nello stesso anno, fino alla decimilionesima.

Di seguito viene riportato il valore di \phi fino al 1000º decimale:

1,618033 9887498 9484820 4586834 3656381 1772030 9179805 7628621 3544862 2705260 4628189 0244970 7207204 1893911 3748475 4088075 3868917 5212663 3862223 5369317 9318006 0766726 3544333 8908659 5939582 9056383 2266131 9928290 2678806 7520876 6892501 7116962 0703222 1043216 2695486 2629631 3614438 1497587 0122034 0805887 9544547 4924618 5695364 8644492 4104432 0771344 9470495 6584678 8509874 3394422 1254487 7066478 0915884 6074998 8712400 7652170 5751797 8834166 2562494 0758906 9704000 2812104 2762177 1117778 0531531 7141011 7046665 9914669 7987317 6135600 6708748 0710131 7952368 9427521 9484353 0567830 0228785 6997829 7783478 4587822 8911097 6250030 2696156 1700250 4643382 4377648 6102838 3126833 0372429 2675263 1165339 2473167 1112115 8818638 5133162 0384005 2221657 9128667 5294654 9068113 1715993 4323597 3494985 0904094 7621322 2981017 2610705 9611645 6299098 1629055 5208524 7903524 0602017 2799747 1753427 7759277 8625619 4320827 5051312 1815628 5512224 8093947 1234145 1702237 3580577 2786160 0868838 2952304 5926478 7801788 9921990 2707769 0389532 1968198 6151437 8031499 7411069 2608867 4296226 7575605 2317277 7520353 6139362...

Pavimento decorato a mosaico alla Università di Australia Occidentale con un esempio di tassellatura di Penrose, nello specifico a rombi "larghi" e "stretti".
Un'equazione scoperta nel 1994 e le prime 3000 cifre significative di -φ.

Nel 1974 il matematico Roger Penrose scoprì, utilizzando figure legate a \phi, la possibilità di una tassellatura a simmetria quintupla[28], attraverso l'uso di figure diverse, detta tassellatura di Penrose. Ciò che rende detta tassellatura legata alla sezione aurea, non è solo la particolare simmetria legata al pentagono e altrimenti inarrivabile, ma perfino il fatto che le stesse figure sono unicamente basate sul rapporto aureo, e che su grandi superfici il numero stesso delle figure impiegate come rapporto approssima sempre 1,618; per esempio, prendendo due delle possibili figure di rombi larghi e stretti, il numero di rombi larghi N_l e quello degli stretti N_s deve essere tale da \frac{N_l}{N_s} = \phi.

Nel 1976 il matematico Robert Hamman, che aveva già lavorato con Penrose per le sue precedenti scoperte, allargò l'indagine sulla tassellatura al campo tridimensionale, scoprendo che era possibile esaurire similmente anche un volume ricorrendo a dei romboedri, composti dalle stesse forme utilizzate per ricoprire le superfici. La particolarità di questo tassellamento tridimensionale era sempre quella di avere una simmetria simile a quella dell'icosaedro (l'omologa della quintupla bidimensionale del pentagono) se eseguita seguendo determinate regole di giustapposizione. Tale scoperta, apparentemente solo teorica, non fu poi priva di conseguenze, una sua utilizzazione reale avvenne nel 1984, quando Dany Schectman, studiando alcuni cristalli di un composto di alluminio e manganese, notò che possedevano una simmetria affine; la particolarità saliente era quella di avere rispetto alle altre formazioni cristalline, completamente amorfe oppure regolari, una quasiperiocità, da cui deriva la successiva riclassificazione degli stessi in quasicristalli.

Matematica[modifica | modifica wikitesto]

Matematicamente, il numero aureo corrisponde a una delle due possibili soluzioni dell'equazione di secondo grado x^2 - x - 1 = 0 , le cui radici[29] sono:

 \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} = \begin{cases} 1{,}6180... \\ -0{,}6180... \end{cases}

Tra le due soluzioni possibili, quella che ha un senso anche a livello geometrico è la radice positiva, ovvero il numero irrazionale 1,618....

In matematica questo valore veniva indicato fino al XX secolo con la lettera greca \tau (tau)[30], ma fu il matematico Mark Barr a introdurre l'uso, oggi consolidato, della \phi (phi)[31], dall'iniziale dello scultore greco Fidia (in greco Φειδίας), il quale avrebbe usato il rapporto aureo per creare le sculture del Partenone.

La radice negativa dell'equazione, presa in valore assoluto (cioè priva di segno) è uguale a 0,618\dots; questo valore viene contrassegnato con la lettera greca \Phi (Phi), in maiuscolo, ed è talvolta detto sezione argentea[32][33].

Particolarità matematiche[modifica | modifica wikitesto]

Dimostrazione

Per effettuare la dimostrazione, basta prendere l'equazione originaria e modificarla:

 {1  \over \phi} = \phi - 1 \qquad \phi^2 = \phi + 1

così emerge che il reciproco è uguale alla radice stessa meno l'unità,[34] mentre per il quadrato questa va aggiunta.

Questo vuol dire che sommando e sottraendo il valore 1 a \phi;, si modifica solo la parte intera e non quella frazionaria, che rimane inalterata.

Il rapporto aureo è l'unico numero non naturale il cui reciproco e il cui quadrato mantengono inalterata la propria parte decimale.[35]

  • \phi = 1{,}{\color{blue}618\,033\,989\dots}
  • \phi^2 = 2{,}{\color{blue}618\,033\,989\dots}
  • {1 \over \phi} = 0{,}{\color{blue}618\,033\,989\dots}

Se invece prendessimo \Phi avremmo similmente che:

{1 \over \Phi} = 1{,}618\,033\,989\dots = \phi

ma \Phi non conserva inalterata la propria parte decimale (diversamente da \phi):

\Phi^2 = 0{,}381\,966\,010\dots

da qui si nota che la parte decimale di \Phi^2 più \Phi fornisce come risultato 0{,} \bar 9, ovvero 1.[36] Quindi \Phi presenta le seguenti proprietà:

\Phi^2 = 1 - \Phi \qquad 1 = \Phi + \Phi^2

Utilizzando la relazione che lega \phi a \Phi si può riscrivere la seconda equazione come:

 1 = {1 \over \phi} + {1 \over \phi^2} \rightarrow 1 = \phi^{-1} + \phi^{-2}

da cui:

\phi^2 = \phi^1 + \phi^0 \qquad \phi^0 = \phi^{-1} + \phi^{-2}

generalizzando per qualsiasi potenza del numero aureo l'equazione diventa:

\phi^{n+1} =  \phi^{n} + \phi^{n-1}

L'ultima equazione racchiude le precedenti proprietà del numero e si evince anche che \phi è una delle possibili radici di ogni equazione del tipo x^{n} - x^{n-1} - x^{n-2} = 0 .

Considerando le potenze di \phi^n elevato a numeri via via più grandi, si ottengono numeri "quasi interi", cioè molto prossimi ad un numero naturale, a potenze pari per difetto a potenze dispari per eccesso, ad esempio:

 \phi^{20} = 15126{,}999933
 \phi^{21} = 24476{,}000040
 \phi^{22} = 39602{,}9999748

Essendo quest'ultima una caratteristica fondamentale dei Numeri di Pisot, la sezione aurea ne rappresenta un caso particolare.

Rappresentazioni notevoli[modifica | modifica wikitesto]

Il numero aureo è legato a due rappresentazioni, per così dire "notevoli", aventi diverse caratteristiche in comune:

  • entrambe sono ottenute per mezzo di operazioni ricorrenti
  • l'unico numero che compare nelle operazioni suddette è 1

Queste proprietà si dimostrano entrambe sfruttando lo stesso procedimento:

\phi può essere ottenuto mediante una successione infinita di radici quadrate sommando ogni volta 1 al risultato, e poi estraendo nuovamente la radice

 \phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}

poniamo

 x^2 = 1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}

si nota subito che essendo un processo infinito, la parte sotto radice è ancora uguale a x^2, per cui:

 x^2 = 1 + \sqrt{x^2}

e quindi:

 x^2 = 1 + x

che è l'equazione generatrice di \phi.

\phi può essere il risultato di una frazione continua illimitata, avente tutti i termini uguali a 1 come denominatore

\phi= 1 + \frac{1}{1 + \cdots}

poniamo:

x  =  1 + \frac{1}{1 + \cdots}

Trattandosi di una frazione infinita, si nota che il denominatore è uguale a x, per cui:

x = 1 + \frac{1}{x}

se si moltiplicano entrambi i membri per x, si ha:

x^{2} = x + 1

che è l'equazione generatrice di \phi.

Altre rappresentazioni[modifica | modifica wikitesto]

  • \phi = 1 +\sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n+1}} {F_n \cdot F_{n+1}} = 1 + \frac{1}{1 \cdot 1} - \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots
  •  \phi = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{(-1)^n}{F_n^2} \right) = \left(1 + \frac{1}{1^2} \right) \left(1 - \frac{1}{2^2} \right)\left(1 + \frac{1}{3^2} \right)\cdots
  • \phi=2\cos{\frac{\pi}{5}}=2\sin{\frac{3\pi}{10}}
  • \phi={e}^{\operatorname{arsinh}(\frac{1}{2})}

Il numero "più irrazionale"[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: numero irrazionale e frazione continua.

L'irrazionalità di \phi, cioè l'impossibilità di essere espressa compiutamente mediante una frazione, è una tra le sue caratteristiche tipiche e singolari, che viene direttamente dimostrata dalla sua formula generatrice:

\phi = {1 + \sqrt{5} \over 2} = 0{,}5 + \sqrt{5 \over 4}

La parte decimale infatti è interamente generata da \sqrt 5 (che è un numero irrazionale), che sommato con un numero razionale fornisce un numero irrazionale.

Inoltre questa proprietà del numero aureo può essere spiegata riprendendo la sua formulazione per mezzo di frazione continua.

Ogni numero, benché irrazionale, può infatti essere approssimato da una frazione continua:

 a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \cdots}}

scritta più brevemente come:

[a_0; a_1; a_2;...].

La frazione può essere interrotta in qualsiasi punto:

[a_0; ...; a_n]

rappresentando a_0 la parte intera, l'approssimazione sarà determinata di volta in volta dai a_1, ... a_n presenti di un ordine del 10^{-n} dell'n-esimo numeratore preso in considerazione[37].

Essendo i numeratori della frazione continua tutti 1, ne risulterà che, ogni frazione si scelga, questa presenterà la minore accuratezza di approssimazione verso l'omologa presa al medesimo numeratore di qualsiasi altro numero irrazionale[non chiaro]; ovvero il numero aureo è il numero più difficile da approssimare con un rapporto fra due interi razionali, da qui l'affermazione di numero "più irrazionale" fra gli irrazionali.

Relazione con la successione di Fibonacci[modifica | modifica wikitesto]

È stato già detto che facendo il rapporto di due numeri consecutivi di Fibonacci, questo approssima sempre meglio il numero aureo, man mano che si procede nella successione; provare questo equivale a provare che il limite della successione del rapporto fra numeri di Fibonacci consecutivi è \phi, ovvero:

\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_{n}}= \phi

La relazione può essere dimostrata per induzione: supponiamo che le precedenti frazioni convergano ad un valore definito x. La serie di Fibonacci è una serie ricorsiva i cui termini sono uguali a:

F_{n+1}= F_{n} + F_{n-1}

possiamo quindi riscrivere il limite come:


\frac{ F_{n} + F_{n-1}}{F_{n}} = 1 + \frac{F_{n-1}}{F_{n}} cioè uguale a 1 più il reciproco della frazione, che ripassando per il passaggio a limite, di cui omettiamo i segni, possiamo riscrivere come segue. x = 1 + \frac{1}{x} che risolvendo darà \phi.

La funzione generatrice della serie si basa proprio su \phi:

F_{n}= {{\phi^n-(1-\phi)^n} \over {\sqrt 5}}

Essendo (1-\phi)^n minore di 1 in valore assoluto, per n' che diventa sempre più grande essa diventa una quantità così prossima a zero da risultare ininfluente nella somma algebrica, tanto che per n grande i numeri della successione di Fibonacci possono essere approssimati con:

F_{n} \approx {\phi^n \over{\sqrt 5}}

analogamente a quanto visto precedentemente, soltanto che in questo caso i numeri quasi interi sono ottenuti dopo la divisione di un altro numero irrazionale \sqrt 5.

Inoltre abbiamo:

\sum_{n=1}^{\infty}|F_{n}\phi - F_{n+1}| = \phi


Potenze di phi[modifica | modifica wikitesto]

Ecco qui alcuni rapporti notevoli interni a phi stesso con delle sue potenze

  •  \phi^2 = \phi + 1 \
  • \phi^3 = \frac{\phi + 1}{\phi - 1}
  • \phi^{-1} = \phi - 1 \
  • \phi^{-2} = 2 - \phi \

Elementi di regolarità nelle potenze di \phi si hanno anche con la serie di Fibonacci; per esempio, se invece del rapporto tra due elementi successivi si prende un passo maggiore, il limite di questo convergerà sicuramente verso un \phi^p, e precisamente:

\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+p}}{F_{n}}= \phi^p

si ha inoltre:

\phi^n = F_n \phi + F_{n-1} ,

Per alti valori dell'esponente, le potenze di phi possono essere considerate con buona approssimazione numeri naturali.

La sezione aurea presenta proprietà particolari se utilizzata come base di un sistema di numerazione.

Metodi di approssimazione e espansione decimale[modifica | modifica wikitesto]

Approssimando φ, è possibile calcolarne un numero arbitrario di cifre decimali.

Nonostante la sezione aurea possa essere compiutamente riportata in termini numerici con la nota formula \scriptstyle{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} la presenza della radice di 5, ne decreta, attraverso l'irrazionalità, l'impossibilità di conoscerne tutta la parte decimale, il che determina che essa può essere soltanto approssimata con maggior grado di precisione da frazioni sempre più grandi oppure mediante algoritmi iterativi.

Il primo metodo più conosciuto è senz'altro quello di sfruttare il legame con i numeri di Fibonacci, attraverso quest'altra ormai nota formula \scriptstyle{\frac{F_{n+1}}{F_{n}}=\phi} il cui grado di approssimazione sempre migliore misurabile con la differenza dal limite effettivo calcolabile con questa formula \scriptstyle{\frac{(-1)^n}{\phi^{2n}-(-1)^n}}. Rimane ovviamente sempre l'inconveniente di dover preliminarmente calcolare valori sempre maggiori della successione.

Assai meno calcoli preliminari, richiede invece il calcolo mediante il metodo più classico della frazione continua, come precedentemente visto, il cui grado di approssimazione può essere solo stimato, risalendo alla frazione corrispondente \scriptstyle{\frac{m}{n}}, inferiore a \scriptstyle{1 \over n^2 \sqrt {5}}; se non fosse come già spiegato che si tratta della frazione continua più lenta in assoluto.

Geometria[modifica | modifica wikitesto]

Pentagono regolare e sue diagonali

La sezione aurea ricorre abbastanza frequentemente in geometria, particolarmente nelle figure a geometria pentagonale. Nel pentagono regolare e nel pentagramma emerge naturalmente, e per questo, come abbiamo già detto, venne scoperto dai greci, nel rapporto fra la diagonale e il lato o, nel secondo caso, fra il pentagono interno e il lato della punta stellata;

Dodecaedro regolare

ma la si ritrova pure nel decagono come rapporto fra la misura del raggio della circonferenza circoscritta e del lato, o ancora, trasferendoci nella geometria solida, perfino nel dodecaedro, un poligono a dodici pentagoni, e nell'icosaedro, entrambi solidi platonici.

Esistono inoltre dei poligoni definibili aurei, poiché presentano in alcune delle loro parti il rapporto aureo; il caso più emblematico è senz'altro il rettangolo aureo, seguito dal triangolo aureo:

Golden spiral in rectangles.svg
Golden triangle and Fibonacci spiral.svg

Nel rettangolo il rapporto è rintracciabile fra il lato corto e quello lungo, mentre nel triangolo fra la base e i lati uguali; inoltre in entrambe le figure si può notare che sono ricavabili una successione di figure simili sempre più piccole con fattore \phi di rimpicciolimento rispetto a quella più esterna; nel rettangolo aureo inoltre è possibile verificare che la sequenza "converge" verso un punto di fuga che non raggiungerà mai[38], denominato dal matematico Clifford A. Pickover l'occhio di Dio, probabilmente rifacendosi alla definizione di "divina" data alla proporzione da Pacioli.

FakeRealLogSpiral.svg

Lavorando sulle successioni inoltre è possibile ricavare una sorta di spirale, denominata spirale aurea, anch'essa legata all'omonima sezione, ma di cui questa rappresenta soltanto una buona approssimazione formata da quarti di cerchio; così come avviene nel caso rettangolo, dove in questo caso la spirale approssimante , si avvicina a quella aurea, a volte tangendola e altre sovrapponendosi[39] ed entrambe tendendo verso un polo asintotico coincidente con lo stesso «occhio di Dio».

Fractal tree (Plate b - 2).jpg

Sempre in ambito geometrico la sezione aurea trova un ruolo importante anche nella composizione di alcuni frattali, ove adottandolo come coefficiente di omotetia sarebbe in grado di assicurare la massima frattalizzazione della figura prima che le sue parti inizino a sovrapporsi. Nel caso dei frattali che riescono a simulare forme naturali, come un albero, per esempio, che rappresenta il grado di ottimalità massima per ottenere la maggiore superficie di chioma senza sovrapposizione; a tal proposito prende proprio il nome di albero aureo[40], una particolare forma di albero di Barnsley con valore pari a \phi[41].

Costruzione geometrica con riga e compasso[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Rettangolo aureo.
Divisione aurea.svg

La sezione aurea può essere costruita geometricamente, con riga e compasso, assegnato un qualsiasi segmento AB, ed è possibile agire in due modi:

  1. dividere il segmento dato nella proporzione media (cioè nel medio proporzionale) e in quella estrema (cioè il sotto-segmento minore che compare all'estremità sinistra nella proporzione)
  2. creare dal medesimo un segmento in proporzione media ed estrema, ossia creare, a partire da quello assegnato, un nuovo segmento (diviso in proporzione media ed estrema) di cui quello assegnato è sotto-segmento in proporzione media, e il sotto-segmento complementare è la ragione estrema

Nel primo caso una possibile divisione del segmento ci è indicata da Euclide alla Prop. 30, libro VI dei suoi Elementi[42], tuttavia esiste un modo molto più semplice:

Dimostrazione

Per la dimostrazione si può procedere in due modi:

Primo metodo

Per il teorema delle tangenti e delle secanti si ha che AB è medio proporzionale rispetto a AE e AD:

AD : AB = AB : AE

Per le proprietà delle proporzioni:

(AD - AB) : AB = (AB - AE): AE

da cui si ha, ricordando che AE = AE':

AE' : AB = E'B : AE'
AB : AE' = AE' : E'B
Secondo metodo

Definendo \overline{AB} = 1 e  \overline{BC} = \frac{\overline{AB}}{2} = \frac{1}{2} si ha, per il teorema di Pitagora,  \overline{AC} = \sqrt{\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2} = \sqrt{1^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} =


= \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}

Quindi, \overline{AB} - \overline{BC} risulta \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} che equivale a  \frac{1}{\phi} . Ma, come visto, \frac{1}{\phi}=\phi-1, e 1 è proprio la misura del segmento AB. Abbiamo perciò che \phi=\overline{AE'}+\overline{AB}. Per provare che questi tre segmenti soddisfano la proporzione aurea basta vedere che \frac{\phi}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AE'}} , cioè che \frac{\phi}{1}=\frac{1}{\frac{1}{\phi}}\implies\frac{\phi}{1}=\phi, il che prova l'asserto, ovvero che i segmenti AE', AB e \phi soddisfano la proporzione aurea. Ne viene che AE' è la sezione aurea di AB.

dato un segmento AB, si traccia la perpendicolare in B di lunghezza CB, pari a AB/2, si traccia poi l'ipotenusa AC del triangolo rettangolo così disegnato e su di essa si segna il punto E, ove passa la circonferenza di centro C e raggio CB. Si riporta ora il segno con raggio AE su AB definendo il segmento AE' medio proporzionale rispetto ad AB e E'B.


Per il secondo caso invece si procede diversamente, utilizzando di fondo lo stesso metodo attraverso cui si ottiene un rettangolo aureo.

Construction golden section sum.svg

Dato un segmento AB si traccia la perpendicolare DB di lunghezza pari ad AB; da questo punto, quindi, si trova il punto medio C del segmento interessato e puntandovi, con apertura pari all'ipotenusa CD, si riporta la lunghezza sul prosieguo del segmento, trovando così BD', per il quale AB rappresenta il medio proporzionale rispetto alla loro somma AD'.

Per un'agevole dimostrazione algebrica se attribuiamo al segmento AB valore unitario, cioè 1;

AC = \frac{1}{2}

Mentre DC similmente, per il teorema di Pitagora, vale:

\sqrt{1^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2}
= \frac{\sqrt{5}}{2}

sommando i due si ricava:

 \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

che è la stessa soluzione dell'equazione generatrice del numero aureo.

Estetica[modifica | modifica wikitesto]

In psicologia[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Rettangolo aureo § Il rettangolo più bello?.
Un esempio di rettangolo aureo

Nell'Ottocento iniziarono i primi studi psicologici volti ad attestare la superiorità estetica della sezione aurea, in particolar modo le ricerche si concentrarono sulla preferenza estetica per il rettangolo aureo, che fra tutti i derivati geometrici della divina proporzione sembra essere quello maggiormente presente nelle opere d'arte.

Fu in particolare Gustav Fechner, fondatore della psicologia sperimentale, che nel suo Manuale di estetica (Vorschule der Aesthetik), edito nel 1879, pubblicò i risultati dei suoi esperimenti condotti sia sulle persone, testando le loro preferenze estetiche, che sul campo, misurando migliaia di oggetti d'uso quotidiano per far emergere la testimonianza di una tendenza inconscia verso la proporzione aurea; Fechner non esitò dall'asserire che vi era una dimostrata preferenza per il rettangolo aureo, e quindi per la sezione aurea.[43] Nel corso del XX secolo gli studi fechneriani sono stati oggetto di verifiche e revisioni, ed in alcuni casi completati e migliorati specie laddove presentavano delle lacune.[44]

Nell'arte[modifica | modifica wikitesto]

L'Uomo Vitruviano, Studio di proporzionalità di un corpo umano (Leonardo da Vinci, circa 1500, Venezia, Gallerie dell'Accademia): inscritto in un quadrato e in un cerchio, rivela l'esistenza di rapporti matematici nelle proporzioni del corpo umano, e quindi simbolo della corrispondenza tra macrocosmo e microcosmo.[45] In esso, il rapporto tra il lato del quadrato e il raggio del cerchio è aureo.[46]

Molto spesso capita che nelle opere di diversi artisti venga riscontrata la presenza della sezione aurea, in particolar modo sotto forma di rettangolo aureo, ad esempio nell'architettura greca, nella costruzione delle chiese medioevali, nei dipinti rinascimentali.[47] Già Vitruvio, architetto romano del I secolo a.C., aveva studiato quali dovessero essere le proporzioni ideali di un canone estetico, rilevando ad esempio che l'altezza di una figura umana doveva risultare uguale all'apertura delle sue braccia, e che la stessa figura potesse essere iscritta in un cerchio. Diversi artisti si cimenteranno nella riproduzione dell'uomo ideale delineato da Vitruvio, fino a Leonardo.[48]

Pittura[modifica | modifica wikitesto]

Ne La geometria segreta dei pittori, Charles Bouleau sostenne la tesi di una diffusissima presenza della sezione aurea nei pittori prerinascimentali, quali Giotto, Duccio e Cimabue, quindi in un'epoca anche precedente la pubblicazione del De divina proportione.[49]

Joconde.gif

La sezione aurea sarebbe stata inoltre incorporata da Leonardo da Vinci all'interno di alcuni dei suoi dipinti e capolavori più famosi, tra cui appunto l'Uomo di Vitruvio,[50] San Gerolamo, La Vergine delle Rocce, l'Annunciazione[51], la Testa di vecchio e la celebre Monna Lisa. In questo caso, la presenza della sezione aurea è più plausibile per la sua collaborazione con Luca Pacioli nella stesura del De Divina Proportione, anche se alcuni dei dipinti citati risultano di molto precedenti al periodo di collaborazione fra i due umanisti, iniziato nel 1496 a Milano presso Ludovico il Moro; fa eccezione la Gioconda, sulla quale il dibattito accademico però risulta ancora aperto, perché il rapporto aureo sarebbe da rintracciare all'interno di un rettangolo aureo i cui riferimenti non sarebbero ben definiti.

La parata del circo (1888) di Georges Seurat

In epoca più recente, il pittore francese Georges Seurat nutriva una naturale propensione per un pittura spaziale dove il rilievo geometrico, si carica, nelle prospettive dell'artista, di una valenza emozionale che egli intende trasmettere facendo un particolare uso di tratti verticali, orizzontali e angoli retti; pur mancando un'ammissione dell'artista di avere fatto esplicito uso della proporzione aurea, a sostegno vengono spesso citati diversi studi sulle proporzioni di dipinti come il La parade de cirque. In quest'ultimo caso un massiccio aiuto alla diffusione del "mito" sarebbero stati alcuni scritti di Matila Ghyka[52]. Stesse cose avrebbe affermato il matematico inglese David Bergamini nel suo libro Mathematics[53], curato nel 1963 dai redattori di Life Magazine.

Altri diversi artisti fecero esplicito uso della sezione aurea nelle loro opere: uno dei primi fu senz'altro Paul Sérusier (1864 - 1927) per sua stessa ammissione. È probabile che Sérusier abbia appreso della sezione aurea da un altro pittore amico suo, l'olandese Jan Werkade, durante una visita avvenuta nel 1896, quando andò a trovarlo presso un monastero di Benedettini a Beuron, nella Germania meridionale; nell'occasione un gruppo di monaci stava ricavando una serie di opere a sfondo religioso basandosi su una Padre Didier Lenzdi riguardanti particolari «misure sacre»[54] tra cui vi era ovviamente la sezione aurea.[55]

Dopo Sérusier la conoscenza della sezione aurea si diffuse a molti artisti, e non poté mancare di trovare degna posizione anche all'interno del cubismo, come dimostra il nome di una mostra: la "Section d'Or", tenuta a Parigi nel 1912 da alcuni dei primi esponenti del movimento pittorico, benché nessuna delle opere presentate al suo interno contenesse alcun legame con \phi. Tuttavia non mancarono pittori cubisti che ne fecero realmente uso, come lo spagnolo Juan Gris e lo scultore lituano Jacques Lipchitz; i due fra l'altro lavorarono assieme alla creazione della scultura Arlequin basata su un particolare triangolo aureo ideato da Keplero. Spostandoci in Italia troviamo invece Gino Severini che lo utilizzo nei primi anni venti e più tardi Mario Merz, il quel però fece in realtà più uso dei numeri di Fibonacci piuttosto che della sezione aurea.

Oltre oceano, negli Stati Uniti troviamo Jay Hambidge che, all'inizio del Novecento teorizzò due tipi di arte moderna: una a "simmetria statica", basata su forme geometriche, e una invece "dinamica" basata sulla sezione aurea e la spirale logaritmica. Oltre Manica invece abbiamo, sempre agli inizi del secolo, Anthony Hill (1930) che si ispirò al numero aureo in una serie di opere denominate sotto relief construction; un altro artista, l'israeliano Yigal Tumarkin, addirittura inserì in una sua opera direttamente la formula \scriptstyle{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}.

La sezione aurea sembra essere stata utilizzata anche dall'olandese Piet Mondrian, che fece prettamente uso di forme rettangolari e linee verticali e orizzontali per comporre le sue opere. Si è discusso se questi dipinti celassero più o meno velati riferimenti o proporzioni auree; ciononostante non si hanno riscontri diretti da parte dell'artista, né dei suoi principali esperti, ad esempio il critico Yve-Alain Bois ha escluso tale ipotesi.[56]

Architettura (Modulor)[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Modulor.

Nell'architettura del XX secolo, una delle più interessanti applicazioni della sezione aurea fu senz'altro segnata dalla nascita del Modulor, letteralmente "modulo d'oro" derivato dal nome francese.

L'ideatore fu l'architetto svizzero Le Corbusier che si prefisse di utilizzare la sezione aurea e la successione di Fibonacci quale sistema su cui basare le proporzioni di tutti gli spazi dedicati alla vita dell'uomo con l'intento di creare uno standard che fosse allo stesso tempo armonico e funzionale alle esigenze del vivere quotidiano; l'idea sottostante era che poiché era possibile riscontrare la sezione aurea nelle proporzioni del corpo umano, nonché in altri svariati esempi naturali, questa potesse essere la base ottimale su cui strutturare tutto l'ambiente circostante, in modo che risultasse armonico e armonizzato ad esso secondo una presupposta regola naturale, identificata appunto nella proporzione aurea. L'idea di armonia implicita cela ancora un volta la concezione di un'estetica superiore legata alla sezione aurea.

Lo stesso Le Corbusier utilizzò gli schemi del Modulor in diversi suoi progetti, come nella costruzione di alcune strutture governative nella città di Chandigarh in India. Nel suo complesso, però, il Modulor non trovò grande seguito presso altri architetti, anzi fu molto spesso oggetto di critiche che ne decretarono man mano l'insuccesso.

In Italia Giuseppe Terragni l'ha usata nella progettazione di alcuni edifici razionalisti.

Musica[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Retorica musicale.

La musica ha numerosi legami con la matematica, e molti ritengono che in essa sia centrale il ruolo della sezione aurea. A sostegno di tale tesi vengono spesso richiamate alcune particolarità strutturali di determinati strumenti come il violino e il pianoforte.

Nel caso del violino alcuni ritengono che la piacevolezza del suono derivi dalle sapienti capacità dei liutai di costruire la sua cassa armonica secondo particolari geometrie; per esempio l'arco che ne costituisce la base avrebbe, in molti casi, il suo centro di curvatura proprio in posizione aurea rispetto alla lunghezza complessiva dello strumento,[57] inoltre anche lo stesso Stradivari si sa per certo che cercasse di posizionare gli occhielli del violino sempre in tale posizione; non vi sono però conferme sul fatto che tali accorgimenti conferiscano effettivamente un suono "migliore" allo strumento, che non possano essere invece attribuiti alla lavorazione dei materiali o alla scelta degli stessi.

TAST1OKT.jpg

Nel pianoforte, invece, particolare rilievo viene dato alla struttura della tastiera, in special modo con parallelismi fra i numeri di questa e quelli di Fibonacci. I tredici tasti delle ottave, distinti in otto bianchi e cinque neri, a loro volta divisi in gruppi da due e tre tasti ciascuno; 2, 3, 5, 8, 13 appartengono infatti tutti alla successione di Fibonacci, ma anche in questo caso, ancor più che nel precedente, si tratta di una mera coincidenza che non può neppure essere attribuita a una specifica volontà del costruttore, trattandosi di una soluzione motivata unicamente dall'evoluzione strutturale dello strumento.

In passato si è fatto notare, che molti degli intervalli musicali naturali sarebbero riducibili a frazioni in termini di numeri di Fibonacci (una sesta maggiore di La e Do 5/3, una sesta minore di Do e Mi 8/5).

Già Pitagora aveva osservato che gli accordi musicali ottenuti da corde le cui lunghezze siano in rapporto come numeri interi piccoli risultino particolarmente gradite all'orecchio.[58] Tuttavia, i motivi per cui tali rapporti sono particolarmente consonanti, sono spiegati (almeno in parte) dall'acustica, non hanno praticamente alcuna connessione con la serie di Fibonacci.

Sul piano compositivo la sezione aurea attraverso la serie di Fibonacci può, ovviamente, essere rapportata a qualsiasi unità di misura concernente la musica, cioè durata temporale di un brano, numero di note o di battute. Per esempio Paul Larson nel 1978 sostenne di aver riscontrato nei Kyrie contenuti nel Liber Usualis, il rapporto aureo a livello delle proporzioni melodiche; medesime considerazione sono sempre state fatte per le opere di Mozart, anche se recentemente John Putz, matematico all'Alma College, persuaso di tale teoria specialmente per quanto riguarda le sonate per pianoforte, riscontrò un risultato decente soltanto per la Sonata n. 1 in Do maggiore.

Questo è quello che hanno fatto, per esempio, Béla Bartók (1881-1945) in alcune delle sue maggiori composizioni (come la Musica per Archi, Percussioni e Celesta) e Claude Debussy (1862-1918), il quale era particolarmente attratto dalla sezione aurea, citata da lui come le divin nombre nella raccolta Estampes (1903) e usata, tra gli altri, nella composizione dei brani La Mer (1905) e Cathédrale Engloutie.

Quest'ultimo, in particolare, è un preludio per pianoforte di 89 battute, di cui le prime 68 hanno un tempo doppio delle restanti 21: in altre parole, alla battuta 68 il brano rallenta e la durata delle note si dimezza. L'effetto prodotto all'ascolto, quindi, riduce le battute di questa prima sezione a 34, e il brano ha una lunghezza percepita da chi lo ascolta di 55 battute, vale a dire la sezione aurea di 89. Questo è uno dei tanti esempi che si possono citare per descrivere l'applicazione del concetto di sezione aurea all'interno delle composizioni musicali di Debussy. Il pianista Roy Howat ha analizzato altri brani di Debussy come Reflets dans l'eau, L'isle joyeuse (oltre al già citato La Mer) riscontrando in ognuno varie applicazioni delle tecniche succitate.

Bartók e Debussy sono solo due tra i compositori che hanno usato in musica il concetto di sezione aurea, ma se ne potrebbero menzionare molti altri, tutti operanti tra la fine del XIX secolo e il XX secolo. In epoche più recenti, musicisti quali Stockhausen, Pierre Barbaud, Iannis Xenakis, facendo evolvere i precedenti utilizzi della matematica in musica, hanno introdotto un utilizzo più strutturato della matematica (soprattutto il calcolo delle probabilità e del computer per la composizione musicale). Xenakis in particolare ha fondato a tale fine, a Parigi nel 1972, un gruppo di ricerca universitario chiamato CEMAMU, che ha appunto come obiettivo l'applicazione delle conoscenze scientifiche moderne e del computer alla composizione musicale e alla creazione di nuovi suoni tramite sintetizzatori.

Sofija Gubajdulina ha utilizzato frequentemente la serie di Fibonacci nelle sue opere - ad esempio nella Sinfonia "Stimmen... Verstummen...", in Perception, nel pezzo per percussioni All'inizio era il ritmo, nel coro Omaggio a Marina Cvetaeva, nel trio Quasi hoquetus, nella sonata Et exspecto e altre. Va sottolineato che la compositrice ha fatto ricorso alla serie di Fibonacci quale regola per organizzare il ritmo, generale o particolare, delle sue opere: "La Sezione Aurea è stata impiegata [...] in due sensi: nella struttura intervallare e in quella ritmica. Delle due a me interessa particolarmente la seconda. Se si interpreta la struttura intervallare con le cifre occorre prendere il semitono come unità di misura. [...] Certamente i numeri 3-5-8, e quindi anche gli intervalli che essi rappresentano, sono disposti in una sequenza che è quella della serie di Fibonacci. Ma su questo tipo di applicazione io ho alcuni dubbi, perché gli intervalli in questione sono considerati all'interno del sistema temperato, [...] un sistema artificiale. La serie di Fibonacci si applica invece al sistema del mondo, in una parola a quella natura che viene violata dall'artificio del sistema temperato. L'uso della serie di Fibonacci nel sistema ritmico mi sembra invece giusto e naturale perché il ritmo è legato alla naturalità del nostro respiro."[59]

Anche la musica Rock, specialmente nel cosiddetto rock progressivo, si è confrontata con gli aspetti "mistici" della sezione aurea, e più precisamente dalla serie di Fibonacci. L'esempio più emblematico è la musica dei Genesis, che hanno usato assiduamente la serie fibonacciana nella costruzione armonico-temporale dei loro brani: "Firth of Fifth" è tutto basato su numeri aurei: ad esempio ci sono assoli di 55, 34, 13 battute, di questi alcuni sono formati da 144 note, ecc. Oltre ai Genesis, altre rock band hanno usato, seppure più sporadicamente, i numeri aurei nelle loro composizioni. Fra questi i Deep Purple nel brano "Child in Time" e i Dream Theater nell'album Octavarium, interamente concepito secondo il rapporto tra i numeri 8 e 5 e termini consecutivi della sequenza di Fibonacci. Risale invece al 2001 Lateralus, album della band statunitense Tool che contiene il singolo omonimo "Lateralus" costruito fedelmente sulla serie di Fibonacci, e sulla proprietà rigenerativa del rettangolo aureo che si sviluppa in una forma a spirale, quale fondo ritmico dell'essere e della vita. In Italia, tra le nuove forme di rock progressivo, gli Eterea Post Bong Band hanno composto un intero concept album su Fibonacci intitolato BIOS, le cui lettere possono anche essere viste come una sequenza di numeri (8105) che rimanda alle prime cifre della sequenza.[60]

Letteratura[modifica | modifica wikitesto]

Persino nella letteratura è stato rintracciato il rapporto aureo, più specificatamente in poesia. Ci sarebbero due modi per poterlo rintracciare: come idea ispiratrice dell'opera, oppure come principio organizzatore della struttura ritmica che dona al componimento le sue decantate doti di armonia. Unica opera, tra l'altro a sfondo umoristico, realmente appartenente al primo caso è una poesia del matematico Paul Bruckman intitolata Media costante, pubblicata nel 1977 sulla rivista matematica Fibonacci quarterly, dove in versi vengono decantate le principali proprietà algebriche del numero, il cui nome viene tradotto per l'occasione in "media aurea".

Riguardo alla seconda possibilità circa la presenza della sezione aurea in poesia, sono state fatte alcune elucubrazioni sulla Eneide di Virgilio; un docente dell'università di Princeton, George Duckworth, affermò in un suo saggio[61], edito nel 1962, che il poeta latino avrebbe strutturato il testo sezionandolo in parti "minori" e "maggiori" che avrebbero rispettato il rapporto aureo. Ora, Duckworth individua queste parti in modo apparentemente oggettivo, ovvero in base al carattere prevalente del loro contenuto sia questo di dialogo o di narrazione o descrizione; concludendo poi che il numero dei versi è tale da approssimare il rapporto aureo. Nel 1981 tali dati vennero rianalizzati da Leonard Curchin e dal matematico Roger Fishler, i quali dimostrarono che l'analisi era innanzitutto viziata da un fatto: che prendendo due numeri disuguali M (Maggiore) e m (minore), il rapporto \scriptstyle{\frac{(M + m)}{M}} è più vicino a \phi di quanto non lo sia \scriptstyle{\frac{M}{m}}; e Duckworth avrebbe preso a sostegno della propria ipotesi soltanto la prima frazione, escludendo la seconda.

Cinema e TV[modifica | modifica wikitesto]

  • L'episodio Capolavoro della follia della serie Criminal Minds, trasmesso da Raidue il 7 ottobre 2012, è dedicato alla sezione aurea.

Botanica[modifica | modifica wikitesto]

Le foglie, numerate da 1 a 10 in base all'ordine di formazione, si dispongono a formare una spirale.
Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Fillotassi.

In natura uno degli esempi più significativi di utilizzo della sezione aurea è rappresentato dagli studi sulla disposizione geometrica delle foglie e delle infiorescenze di alcune piante (Fillotassi).

Un esempio di spirale aurea presente nella conchiglia di un particolare mollusco, la cui struttura si accresce progressivamente in dimensioni, pur mantenendo la stessa forma originaria.

Nel XIX secolo i fratelli Louis ed Auguste Bravais, botanico il primo e cristallografo il secondo, osservarono che in alcune piante le foglie si dispongono sul fusto secondo una spirale vegetativa, in cui l'angolo tra due foglie successive è pressoché costante ed è di circa 137,5º. Tale angolo, corrispondente all'angolo aureo, garantisce un utilizzo ottimale della luce solare[62]. Diversi altri esempi sono stati rinvenuti in natura, dai petali dei fiori, il cui numero appartiene di solito alla successione di Fibonacci, alle forme anatomiche umane, dalla geometria delle foglie alle stelle marine, dalla spirale aurea dei nautilus a quella delle galassie.[63]

Medicina[modifica | modifica wikitesto]

Recentemente la Sezione aurea è stata trovata essere anche alla base di importanti proporzioni tra parametri medici e parametri relativi al movimento umano. Nel 2013 è stato scoperto che durante il passo il rapporto tra la fase di appoggio (chiamata in inglese stance) e la fase di oscillazione dell'arto inferiore (quando il piede avanza e non è in contatto con il terreno, chiamata in inglese swing) è pari al rapporto aureo. Questo comporta una serie di proporzionalità delle fasi del passo che probabilmente ne semplifica il controllo da parte del sistema nervoso centrale. Soggetti con patologie neurologiche hanno alterato questo rapporto. Analogamente anche il rapporto tra le fasi cardiache diastolica e sistolica è stato scoperto essere prossimo al rapporto aureo.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Jacques Lucan, Le Corbusier, enciclopedia, pag. 492, Electa, 1988.
  2. ^ Michael Scheneider, A Beginner's guide to Constructing the Universe, New York, Harper Perennial, 1995. ISBN 0-06-092671-6
  3. ^ Helen Hedian, The golden section and the artist su "The Fibonacci Quarterly" 14:406-18, 1976.
  4. ^ Dying lioness (Leonessa morente) bassorilievo custodito al British Museum di Londra
  5. ^ a b Robert Lawlor, Sacred Geometri philosophy and practice London, Thames and Hudson, 1982 ISBN 0-500-81030-3
  6. ^ Livio, p. 80
  7. ^ Ci sono al riguardo diversi studiosi che affermano che nelle misure della Grande piramide sarebbero riscontrabili diverse costanti cosmologiche e matematiche, fra cui il π (pi greco).
  8. ^ Piazzi Smyth, The Great Pyramid, New York, Gramercy book, 1978
  9. ^ L'altezza della parete può essere desunta dai dati precedenti applicando il teorema di Pitagora
  10. ^ Erodoto, Storie Libro II.
  11. ^ Erodoto Storie traduzione da filosofico.net; Qui (GR) il frammento originale
  12. ^ a b Richard Gillings Mathematics in the Time of the Pharaohs. Cambridge, Dover Publications, 1982 ISBN 0-486-24315-X
  13. ^ MarkowskyMisconceptions: The Great Piramid was designed to conform to φ, p. 6
  14. ^ Livio, p. 94
  15. ^ Kurt Mendelssohn. L'enigma delle piramidi. Milano, Mondadori, 1990. ISBN 88-04-43384-1
  16. ^ Una esauriente spiegazione matematica la puoi trovare in BastioniLe piramidi contengono pi greco e Φ per puro caso.
  17. ^ Livio, p. 15
  18. ^ Giamblico, Silloge delle dottrine pitagoriche ca. 300 d.C.:
    «Dicono che il primo che divulgò la natura della commensurabilità e dell'incommensurabilità a chi non era degno di conoscere tale teoria si attirò un tale disprezzo che non solo lo si bandi dalla vita in comune e dalle associazioni [pitagoriche], ma fu costruita la sua tomba...»
  19. ^ Capparelli Vincenzo. La sapienza di Pitagora Roma, Edizioni Mediterranee, 1988, (passim).
  20. ^ Cenni di astronomia di Venere e Mercurio.
  21. ^ Indice analitico su Euclid's Elements
  22. ^ Libro VI, Def. 3
  23. ^ Poiché la somma degli angoli interni di un poligono di n lati è in gradi sessagesimali (n-2) x 180, tale somma per un pentagono è 540°, che diviso per 5 fa 108°
  24. ^ In realtà Fibonacci pone un problema per la cui soluzione occorre calcolare i primi 12 termini della successione che oggi porta il suo nome e non fa alcuna considerazione sulla successione infinita.
  25. ^ Erman di Rienzo, la divina proporzione (DOC) p. 17.
  26. ^ Livio, p. 226
  27. ^ François Lasserre. The birth of mathematics in the age of Platone. Londra, Hutchinson, 1964 Carl B. Boyer. Storia della Matematica Milano, Mondadori, 1990 ISBN 88-04-33431-2
  28. ^ Tassellature diverse sono facilmente componibili con triangoli equilateri, quadrati e esagoni, si tratta di tassellazioni regolari e periodiche, con simmetrie rispettivamente triple, quadruple e sestuple, possibili principalmente perché detti poligoni regolari hanno angoli che sono multipli perfetti dell'angolo giro; motivo che fino ad ora aveva impedito di ottenere una tassellazione a geometria quintupla prerogativa del pentagono, che invece fu possibile grazie a Penrose
  29. ^ La "radice" di cui si parla qui e nel seguito non è sinonimo di "radice quadrata", bensì ha il significato di "soluzione dell'equazione".
  30. ^ dal greco tomé, "taglio" o "sezione"
  31. ^ La lettera greca usata per indicare il numero aureo nella forma 1,618\dots è \phi; minuscola, la maiuscola \Phi; viene usata per indicarne il suo reciproco, ovvero 0,618\dots.
  32. ^ Golden Ratio Conjugate, MathWorld
  33. ^ La sezione argentea non è quindi una soluzione dell'equazione per cui invece \phi è soluzione; piuttosto è il valore assoluto di una soluzione dell'equazione, oltre che il reciproco della sezione aurea \phi:
    \Phi = {1  \over \phi} = \phi - 1
  34. ^ cioè è il "complemento ad uno della radice dell'equazione
  35. ^ Esistono altri numeri i cui reciproci mantengono la stessa parte decimale (vedi Reciproco#Reciproci particolari), ma nessun altro lo fa anche elevato al quadrato.
  36. ^ La barretta sopra il "9" indica che si tratta di un numero decimale periodico.
  37. ^ Ecco perché \phi; è il più irrazionale! in La favola della sezione aurea. p. 54
  38. ^ Una immagine più chiara sull'Occhio di Dio
  39. ^ Una immagine della Spirale aurea e della spirale di Fibonacci.
  40. ^ Laura Lotti. L'albero aureo 3 maggio 2004 - immagini
  41. ^ L'omotetia, in questo caso, deve essere una contrazione, in modo da accorciare le distanze. Il rapporto di omotetia deve essere dunque strettamente minore di 1, ovvero 0,618..., cioè il reciproco di 1,618.
  42. ^ libro VI, Prop. 30 in Euclid's elements
  43. ^ Franco Ghione, Laura Catastini, Matematica e Arte: Forme del pensiero artistico, pag. 32, Springer Science & Business Media, 2011.
  44. ^ Gérald Mazzalovo, Estetica di marca. Il nuovo confine competitivo del brand management, pag. 148, FrancoAngeli, 2011.
  45. ^ Rocco Sinisgalli, Leonardo per gioco. L'uomo vitruviano, pag. 5, Federighi editori, 2006.
  46. ^ La sezione aurea, a cura di Fernando Corbalàn, pag. 101, Mondo Matematico, 2015.
  47. ^ La sezione aurea, pp. 125-141, op. cit.
  48. ^ La sezione aurea, p. 102, op. cit.
  49. ^ Charles Bouleau la geometria segreta dei pittori, Milano Mondadori 1999. ISBN 88-435-2643-X
  50. ^ Sezione aurea.
  51. ^ Franca Manenti Valli, Leonardo. Il comporre armonico nella tavola dell'Annunciazione, Milano, Silvana Editoriale, 2012
  52. ^ Esthétique des proportrions dans la nature et dans les arts, 1927 e Le nombre d'or: rites et rytmes pytagoriciens dans le développemont de la civilisation occidentale, 1931.
  53. ^ David Bergamini, Mathematics, New York, Time Incorporated, 1963.
  54. ^ Padre Didier Lenzdi riteneva che grandi opere dell'antichità, nonché capolavori (fra cui, a suo dire, rientrava anche l'arca di Noè), erano composti su figure geometriche semplici come cerchi, triangoli equilateri ed esagoni (Alessandra Candela, Forme dell’arte e forme della matematica, una ricerca (PDF), 24 maggio 2006).
  55. ^ La notizia è confermata da alcune note biografiche di Maurice Denis, biografo di Sérusier, oltreché pittore egli stesso.
  56. ^ Livio, p. 261
  57. ^ Livio, p. 271
  58. ^ Ciononostante, il sistema di note più usato al giorno d'oggi, basato sul temperamento equabile, prevede che i rapporti tra due semitoni successivi della scala cromatica sia pari alla quantità 12√2, un numero irrazionale, il che fa sì che gli unici rapporti interi fra le note corrispondano agli intervalli di ottava (il cui rapporto è pari a due).
  59. ^ Fonte: "Un'autobiografia dell'autore raccontata da Enzo Restagno", contenuto in AA.VV. "Gudajdulina", ed. EDT
  60. ^ Eterea Post Bong Band, la musica è matematica su Il Fatto Quotidiano. URL consultato il 2015-07-08.
  61. ^ George Duckworth. structural patterns and proportions in Vergil's Aeneid, Ann arbor, university of Michigan press, 1962
  62. ^ Livio, p. 168
  63. ^ La sezione aurea, pp. 125-141, op. cit.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Mario Livio, La sezione aurea, Milano, Rizzoli 2003, ISBN 88-17-87201-6
  • Rocco Panzarino, Dio Sezione Aurea Bellezza, Collana di Filosofia Sapientia 10, Fasano, Schena editore 2005
  • Hrant Arakelyan. Mathematics and History of the Golden Section. – Logos 2014, 404 p. — ISBN 978-5-98704-663-0, (rus.).
  • Cornelis Jacobus Snijders, La sezione aurea: arte, natura, matematica, architettura e musica, 2ª ed. Padova, Muzzio 1985. ISBN 88-7021-668-3
  • Claudio Lanzi, Ritmi e riti: orientamenti e percorsi di derivazione pitagorica, Simmetria, 2003. ISBN 88-87615-26-8
  • Ugo Adriano Graziotti, Hermetica Geometria Roma, Simmetria 2005
  • Osvaldo Rea, Nautilus, l'enigma dell'impero, Pompei, Palestra Grande. ISBN 88-901473-9-3
  • Aldo Scimone, La Sezione Aurea. Storia culturale di un leitmotiv della Matematica, Palermo, Sigma Edizioni, 1997.

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