Spirale aurea

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Spirali auree vere e approssimate: la spirale verde è formata da quarti di circonferenze inscritte in dei quadrati; la spirale rossa è una spirale aurea, un particolare tipo di spirale logaritmica. Sovrapponendo le due spirali si ottiene la spirale gialla.

In geometria, la spirale aurea è un tipo particolare di spirale logaritmica con fattore di accrescimenti b di crescita pari a φ, la sezione aurea.[1]

Formula[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione polare di una spirale aurea è la stessa delle altre spirali logaritmiche, ma con un particolare valore di b:[2]

oppure

dove e è la base dei logaritmi naturali, a è una costante reale arbitra, ma positiva, e b è tale che quando θ è un angolo retto, la quantità:

La quantità è il fattore che descrive di quanto aumenta il raggio della spirale dopo aver compiutoun angolo retto, ovvero un quarto di giro. Se per esempio imponiamo , ciò significa che in questo caso la spirale raddoppia il proprio raggio ad ogni quarto di giro e quindi ad ogni giro completo le sue dimensioni aumentano di un fattore .

Perciò, b è dato da

Utilizzando questa definizione l'equazione della spirale logaritmica diventa[3]:

in quanto .

Calcolanto il rapporto tra e infatti si ottiene:

Il che dimostra come nella forma la quantità sia il fattore che descrive di quanto aumenta il raggio ogni quarto di giro.

La spirale aurea è quindi un caso particolare della spirale logaritmica, ovvero il caso in cui , al posto di essere un numero reale positivo generico, assume il valore della sezione aurea:

Il valore numerico del modulo di b per la spirale aurea vale:

Una spirale di Fibonacci approssima la spirale aurea; al contrario del diagramma con i rettangoli basato sulla sezione aurea, questa spirale si basa su quadrati di lato pari a numeri di Fibonacci.
per θ espresso in gradi;
per θ espresso in radianti.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Chang, Yu-sung, "Golden Spiral", The Wolfram Demonstrations Project.
  2. ^ Priya Hemenway (2005). Divine Proportion: Φ Phi in Art, Nature, and Science. Sterling Publishing Co. pp. 127–129. ISBN 1402735227.
  3. ^ Klaus Mainzer (1996). Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science. Walter de Gruyter. pp. 45.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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