Teorema delle tangenti e delle secanti

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Il teorema delle tangenti e delle secanti è un teorema della geometria euclidea che descrive il rapporto tra il segmento tangente a una circonferenza e i segmenti intersecati dalla circonferenza su una secante.

Tale teorema è essenziale per la costruzione, con riga e compasso, della sezione aurea di un segmento.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Se da un punto esterno di una circonferenza si conduce una tangente ed una secante il segmento di tangenza è medio proporzionale tra l'intera secante e la sua parte esterna.[1]

Enunciato del teorema delle tangenti e delle secanti così come è stato scritto da Euclide nel terzo libro degli Elementi.[2][3]

“Se un punto è preso all'esterno di una circonferenza e dal quel punto escono due linee rette e se una di esse interseca la circonferenza e l'altra è tangente, il rettangolo formato da tutto il segmento che taglia la circonferenza e il segmento intercettato su di essa all'esterno tra il punto e la circonferenza è uguale al quadrato sulla tangente.”

Ipotesi[modifica | modifica wikitesto]

  • Sia un punto esterno alla circonferenza .
  • Sia tangente alla circonferenza.
  • Sia secante alla circonferenza in ed .

Si consideri la figura così come descritta dall'enunciato:

Euclide1.TIF

Tesi[modifica | modifica wikitesto]

Il segmento è medio proporzionale tra e ; vale a dire .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Per il primo criterio di similitudine dei triangoli (due triangoli sono simili se hanno due angoli congruenti corrispondenti) i triangoli e sono simili.

Infatti hanno l'angolo in in comune e l'angolo congruente all'angolo , perché angoli che insistono sullo stesso arco .

Ne consegue . (c.v.d.)

Corollario[modifica | modifica wikitesto]

Se si modifica la figura precedente come indicato sotto:

Euclide2.TIF

con perpendicolare a , centro della circonferenza, , si ottiene il disegno per la costruzione geometrica della sezione aurea con riga e compasso.

Note[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Terzo libro degli elementi, su proofwiki.org. URL consultato il 4 maggio 2019 (archiviato dall'url originale il 10 aprile 2014).