Numero di Pisot-Vijayaraghavan

In matematica, con numero di Pisot-Vijayaraghavan (detto anche numero di Pisot oppure numero PV) si indica un intero algebrico α che è reale e maggiore di $1$ , ma tale che i suoi elementi coniugati sono tutti minori di $1$ in valore assoluto.

Se ad esempio $\alpha$ è un irrazionale quadratico, esso ha un unico coniugato $\alpha '$ , ottenuto cambiando il segno della radice quadrata in $\alpha$ da

\alpha =a+b{\sqrt {d}}

con $a$ and $b$ entrambi interi oppure entrambi la metà di un numero dispari, si ottiene il coniugato

\alpha '=a-b{\sqrt {d}}.

In questo caso si hanno le due condizioni

\alpha >1,

-1<\alpha '<1,

che sono soddisfatte dal numero aureo $\phi$ . Abbiamo infatti

\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}>1,

\phi '={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {-1}{\phi }}.

Nel caso i coniugati siano non maggiori di $1$ , e uno di essi abbia valore assoluto esattamente $1$ , il numero è detto numero di Salem.

Le caratteristiche generali per i numeri di Pisot sono state studiate inizialmente da G. H. Hardy in relazione a un problema di approssimazione diofantea. Il suo lavoro è stato proseguito da Tirukkannapuram Vijayaraghavan (30 novembre 1902 - 20 aprile 1955), un matematico indiano della regione del Madras che si trasferì a metà degli anni venti per lavorare con Hardy. Le stesse condizioni appaiono anche in alcuni problemi sulle serie di Fourier, e vennero studiate da Charles Pisot. Il nome usato comunemente per riferirsi a questi numeri deriva da entrambi gli autori.

I numeri di Pisot-Vijayaraghavan possono essere usati per generare quasi-interi: la potenza $n$ -sima di un numero di Pisot "si avvicina a un intero" al tendere di $n$ ad infinito. Ad esempio, si considerino le potenze di $\phi$ : abbiamo $\phi ^{21}=24476,0000409$ , e l'effetto può essere ancora più pronunciato per i numeri di Pisot-Vijayaraghavan generati da equazioni di grado superiore.

Questa proprietà deriva dal fatto che per ogni $n$ la somma delle potenze n-sime di un intero algebrico $x$ e dei suoi coniugati è un numero intero. Se $x$ è un numero di Pisot, le potenze $n$ -sime degli altri coniugati tendono a $0$ per $n$ che tende a infinito.

Il più piccolo numero di Pisot-Vijayaraghavan è la radice reale dell'equazione $x^{3}-x-1$ : questo numero (approssimativamente 1,324718) è noto anche come numero plastico. "Numero d'argento" invece è la soluzione positiva dell'equazione di secondo grado

x^{2}-2x-1=0,

uguale al numero irrazionale algebrico $1+{\sqrt {2}}$ ^[1].

Vi sono infiniti numeri di Pisot-Vijayaraghavan: il punto di accumulazione di valore minimo è il rapporto aureo $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1,618033$ .

Tabella dei numeri di Pisot

Ecco i 38 numeri di Pisot minori di 1,618, in ordine crescente.

#	Valore	Radice di...
1	1,3247179572447460260	$x^{3}-x-1$
2	1,3802775690976141157	$x^{4}-x^{3}-1$
3	1,4432687912703731076	$x^{5}-x^{4}-x^{3}+x^{2}-1$
4	1,4655712318767680267	$x^{3}-x^{2}-1$
5	1,5015948035390873664	$x^{6}-x^{5}-x^{4}+x^{2}-1$
6	1,5341577449142669154	$x^{5}-x^{3}-x^{2}-x-1$
7	1,5452156497327552432	$x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{2}-1$
8	1,5617520677202972947	$x^{6}-2x^{5}+x^{4}-x^{2}+x-1$
9	1,5701473121960543629	$x^{5}-x^{4}-x^{2}-1$
10	1,5736789683935169887	$x^{8}-x^{7}-x^{6}+x^{2}-1$
11	1,5900053739013639252	$x^{7}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1$
12	1,5911843056671025063	$x^{9}-x^{8}-x^{7}+x^{2}-1$
13	1,6013473337876367242	$x^{7}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1$
14	1,6017558616969832557	$x^{10}-x^{9}-x^{8}+x^{2}-1$
15	1,6079827279282011499	$x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1$
16	1,6081283851873869594	$x^{11}-x^{10}-x^{9}+x^{2}-1$
17	1,6119303965641198198	$x^{9}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1$
18	1,6119834212464921559	$x^{12}-x^{11}-x^{10}+x^{2}-1$
19	1,6143068232571485146	$x^{11}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1$
20	1,6143264149391271041	$x^{13}-x^{12}-x^{11}+x^{2}-1$
21	1,6157492027552106107	$x^{11}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1$
22	1,6157565175408433755	$x^{14}-x^{13}-x^{12}+x^{2}-1$
23	1,6166296843945727036	$x^{13}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1$
24	1,6166324353879050082	$x^{15}-x^{14}-x^{13}+x^{2}-1$
25	1,6171692963550925635	$x^{13}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1$
26	1,6171703361720168476	$x^{16}-x^{15}-x^{14}+x^{2}-1$
27	1,6175009054313240144	$x^{15}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1$
28	1,6175012998129095573	$x^{17}-x^{16}-x^{15}+x^{2}-1$
29	1,6177050699575566445	$x^{15}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1$
30	1,6177052198884550971	$x^{18}-x^{17}-x^{16}+x^{2}-1$
31	1,6178309287889738637	$x^{17}-x^{15}-x^{14}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1$
32	1,6178309858778122988	$x^{19}-x^{18}-x^{17}+x^{2}-1$
33	1,6179085817671650120	$x^{17}-x^{16}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1$
34	1,6179086035278053858	$x^{20}-x^{19}-x^{18}+x^{2}-1$
35	1,6179565199535642392	$x^{19}-x^{17}-x^{16}-x^{15}-x^{14}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1$
36	1,6179565282539765702	$x^{21}-x^{20}-x^{19}+x^{2}-1$
37	1,6179861253852491516	$x^{19}-x^{18}-x^{16}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1$
38	1,6179861285528618287	$x^{22}-x^{21}-x^{20}+x^{2}-1$