Numero di Pisot-Vijayaraghavan

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In matematica, con numero di Pisot-Vijayaraghavan (detto anche numero di Pisot oppure numero PV) si indica un intero algebrico α che è reale e maggiore di , ma tale che i suoi elementi coniugati sono tutti minori di in valore assoluto.

Se ad esempio è un irrazionale quadratico, esso ha un unico coniugato , ottenuto cambiando il segno della radice quadrata in da

con and entrambi interi oppure entrambi la metà di un numero dispari, si ottiene il coniugato

In questo caso si hanno le due condizioni

che sono soddisfatte dal numero aureo . Abbiamo infatti

Nel caso i coniugati siano non maggiori di , e uno di essi abbia valore assoluto esattamente , il numero è detto numero di Salem.

Le caratteristiche generali per i numeri di Pisot sono state studiate inizialmente da G. H. Hardy in relazione a un problema di approssimazione diofantea. Il suo lavoro è stato proseguito da Tirukkannapuram Vijayaraghavan (30 novembre 1902 - 20 aprile 1955), un matematico indiano della regione del Madras che si trasferì a metà degli anni venti per lavorare con Hardy. Le stesse condizioni appaiono anche in alcuni problemi sulle serie di Fourier, e vennero studiate da Charles Pisot. Il nome usato comunemente per riferirsi a questi numeri deriva da entrambi gli autori.

I numeri di Pisot-Vijayaraghavan possono essere usati per generare quasi-interi: la potenza -sima di un numero di Pisot "si avvicina a un intero" al tendere di ad infinito. Ad esempio, si considerino le potenze di : abbiamo , e l'effetto può essere ancora più pronunciato per i numeri di Pisot-Vijayaraghavan generati da equazioni di grado superiore.

Questa proprietà deriva dal fatto che per ogni la somma delle potenze n-sime di un intero algebrico e dei suoi coniugati è un numero intero. Se è un numero di Pisot, le potenze -sime degli altri coniugati tendono a per che tende a infinito.

Il più piccolo numero di Pisot-Vijayaraghavan è la radice reale dell'equazione : questo numero (approssimativamente 1,324718) è noto anche come numero di plastica. "Numero d'argento" invece è la soluzione positiva dell'equazione di secondo grado

uguale al numero irrazionale algebrico [1].

Vi sono infiniti numeri di Pisot-Vijayaraghavan: il punto di accumulazione di valore minimo è il rapporto aureo .

Tabella dei numeri di Pisot[modifica | modifica wikitesto]

Ecco i 38 numeri di Pisot minori di 1,618, in ordine crescente.

# Valore Radice di...
1 1,3247179572447460260
2 1,3802775690976141157
3 1,4432687912703731076
4 1,4655712318767680267
5 1,5015948035390873664
6 1,5341577449142669154
7 1,5452156497327552432
8 1,5617520677202972947
9 1,5701473121960543629
10 1,5736789683935169887
11 1,5900053739013639252
12 1,5911843056671025063
13 1,6013473337876367242
14 1,6017558616969832557
15 1,6079827279282011499
16 1,6081283851873869594
17 1,6119303965641198198
18 1,6119834212464921559
19 1,6143068232571485146
20 1,6143264149391271041
21 1,6157492027552106107
22 1,6157565175408433755
23 1,6166296843945727036
24 1,6166324353879050082
25 1,6171692963550925635
26 1,6171703361720168476
27 1,6175009054313240144
28 1,6175012998129095573
29 1,6177050699575566445
30 1,6177052198884550971
31 1,6178309287889738637
32 1,6178309858778122988
33 1,6179085817671650120
34 1,6179086035278053858
35 1,6179565199535642392
36 1,6179565282539765702
37 1,6179861253852491516
38 1,6179861285528618287

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Marchetti, Rossi Costa, Dal numero aureo al numero plastico, in Archimede, nº 2, 2010.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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