Incommensurabilità

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Due grandezze e si dicono fra loro commensurabili se esiste fra loro un sottomultiplo comune, ossia se esistono due opportuni numeri naturali e per i quali:

Il valore di queste frazioni è il sottomultiplo comune alle grandezze ed . Di conseguenza quando due grandezze sono commensurabili è possibile esprimere la misura della prima grandezza rispetto alla seconda utilizzando un numero razionale, cioè è possibile scrivere

Al contrario, due coppie di grandezze si dicono incommensurabili quando non hanno alcun sottomultiplo comune, ovvero non esiste alcuna frazione in grado di esprimere il rapporto Da ciò consegue che la misura della prima grandezza rispetto alla seconda non è un numero razionale, perché non è esprimibile sotto forma di frazione.

Esempio di grandezze non commensurabili[modifica | modifica wikitesto]

La coppia di grandezze incommensurabili più semplice e da più tempo conosciuta è certamente quella formata dal lato di un quadrato e dalla sua diagonale. Per dimostrare che queste due grandezze sono incommensurabili, basta dimostrare che la misura di una rispetto all'altra non è un numero razionale. Prima di tutto stabiliamo qual è il valore dalla diagonale (che chiameremo ) rispetto al lato (che chiameremo ). Per farlo utilizziamo il Teorema di Pitagora.

Quadrado.PNG

Infatti dato un quadrato, sappiamo che:

da cui

allora

semplificando abbiamo che

abbiamo quindi trovato la misura di rispetto a . Ora è necessario dimostrare che il numero non è razionale. Per farlo utilizziamo una delle varie dimostrazioni dell'irrazionalità di radice di due.

L'incommensurabilità tra lato e diagonale di un quadrato fu il primo caso nel quale l'incommensurabilità fu dimostrata. La dimostrazione, attribuita in genere a Ippaso di Metaponto, fu certamente effettuata all'interno della scuola pitagorica e causò una grave crisi delle concezioni matematiche dell'epoca.

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