Quadrica

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In matematica e in particolare in geometria una quadrica (o superficie quadrica) è una (iper-)superficie di uno spazio D-dimensionale sui complessi o sui reali rappresentata da un'equazione polinomiale del secondo ordine nelle variabili spaziali (coordinate). Se le coordinate spaziali sono , allora la generale quadrica nello spazio CD (o RD) è definita da un'equazione della forma

dove Q è una matrice (non nulla), P un vettore e R una costante.

Un punto qualsiasi di una superficie quadrica si definisce iperbolico, parabolico o ellittico a seconda che il piano tangente alla superficie in quel punto tagli la quadrica in due rette reali e distinte, coincidenti o immaginarie coniugate. I punti di una quadrica sono tutti dello stesso tipo, cioè o tutti iperbolici o tutti parabolici o tutti ellittici. Tale caratteristica dipende solo dal segno del determinante della quadrica (invariante nei sistemi di riferimento cartesiani ortogonali) e viene spesso posta in evidenza come aggettivo della quadrica (ad esempio, iperboloide iperbolico).

Attraverso traslazioni e rotazioni ogni quadrica può essere trasformata in una forma "normalizzata", sensibilmente più semplice di quella generale. Ad esempio, l'equazione normalizzata di molte quadriche nello spazio a tre dimensioni (D=3) è:

Nello spazio euclideo tridimensionale ogni quadrica può essere scritta in una delle seguenti 9 forme normalizzate:

Quadriche non degeneri
Ellissoide Quadric Ellipsoid.jpg
Sferoide (caso particolare di ellissoide)  
Sfera (caso particolare di sferoide)
Paraboloide ellittico Quadric Elliptic Paraboloid.jpg
Paraboloide circolare (caso particolare di paraboloide ellittico)
Paraboloide iperbolico Quadric Hyperbolic Paraboloid.jpg
Iperboloide ad una falda (iperboloide iperbolico) Quadric Hyperboloid 1.jpg
Iperboloide a due falde (iperboloide ellittico) Quadric Hyperboloid 2.jpg
Quadriche degeneri
Cono Quadric Cone.jpg
Cilindro ellittico Quadric Elliptic Cylinder.jpg
Cilindro circolare (caso particolare di cilindro ellittico)
Cilindro iperbolico Quadric Hyperbolic Cylinder.jpg
Cilindro parabolico Quadric Parabolic Cylinder.jpg

Nello spazio proiettivo reale, a meno di una trasformazione proiettiva ci sono tre classi di equivalenza di quadriche:

  • il cono, il cilindro e le altre quadriche "degeneri", cioè con curvatura gaussiana zero, sono tra loro equivalenti;
  • i due paraboloidi iperbolici e le superfici rigate sono tra loro equivalenti;
  • l'ellissoide, il paraboloide ellittico, l'iperboloide a due falde e le rimanenti quadriche sono tra loro equivalenti.

Nello spazio proiettivo complesso tutte le quadriche non degeneri sono tra loro equivalenti, a meno di trasformazioni proiettive.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Giuseppe Vaccaro, Ordinario Università di Roma - Lezioni di geometria - Vol. I - Seconda edizione - Veschi, Roma

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