Curvatura gaussiana

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Un iperboloide, un cilindro e una sfera: si tratta di superfici con curvatura gaussiana (rispettivamente) negativa, nulla e positiva.

In geometria differenziale, la curvatura gaussiana è una misura della curvatura di una superficie in un punto.

La curvatura gaussiana in un punto di una superficie contenuta nello spazio euclideo è definita come il prodotto delle due curvature principali in . La curvatura gaussiana, a differenza delle curvature principali, è una curvatura intrinseca: dipende cioè soltanto dalle distanze fra punti all'interno della superficie, e non da come questa sia contenuta nello spazio tridimensionale. Questo fatto importante è asserito dal teorema egregium di Gauss.

Un altro tipo di curvatura calcolato a partire dalle curvature principali è la curvatura media. A differenza della curvatura di Gauss, la curvatura media non è intrinseca.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Hessiano[modifica | modifica wikitesto]

Una semplice definizione della curvatura gaussiana di una superficie è la seguente. La curvatura gaussiana non cambia se la superficie viene spostata con movimenti rigidi. Per definire la curvatura gaussiana di una superficie in un punto , possiamo quindi ruotare in modo che il piano tangente in sia orizzontale. A questo punto la superficie è descritta (almeno localmente, in un intorno di ) come grafico di una funzione

avente come dominio un aperto di . La curvatura gaussiana in è il determinante dell'hessiano di in . Perché questa definizione abbia senso, la funzione deve essere differenziabile almeno due volte: l'hessiano è infatti la matrice simmetrica data dalle derivate parziali seconde di .

Curvature principali[modifica | modifica wikitesto]

La curvatura gaussiana di una superficie più generale in un punto è il prodotto delle curvature principali. Per definire le curvature principali è necessario fissare una normale alla superficie in : poiché la normale opposta dà curvature con segni opposti, il loro prodotto è però ben definito anche senza questa scelta.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Curvatura costante[modifica | modifica wikitesto]

Un piano o un cilindro hanno curvatura gaussiana ovunque nulla. Una sfera di raggio ha curvatura gaussiana ovunque .

Esempio puntuale[modifica | modifica wikitesto]

Il paraboloide ha curvatura positiva nel suo punto di minimo, pari al determinante dell'hessiano. Ha curvatura positiva anche negli altri punti, ma con valore differente dal determinante.

La funzione

ha gradiente . Il gradiente è nullo nell'origine, e quindi la curvatura gaussiana del grafico di in è il determinante dell'hessiano. L'hessiano è

ed il suo determinante è . La curvatura di in è quindi . Questa è ad esempio negativa in presenza di un punto di sella, ove e hanno segni discordi.

Questo metodo per calcolare la curvatura è però funzionante solo in , dove il gradiente si annulla.

Curvatura totale[modifica | modifica wikitesto]

La somma degli angoli di un triangolo su una superficie di curvatura negativa è minore di quella che si ottiene su un triangolo piano (cioè ).

La curvatura totale di una regione della superficie è l'integrale di superficie

della curvatura gaussiana su . La curvatura totale misura quanto si differenzia globalmente la geometria di da quella di una regione piatta sul piano: ad esempio, la curvatura totale di un triangolo geodetico è pari alla differenza fra la somma dei suoi angoli interni (in radianti) e . In altre parole,

dove e sono gli angoli interni.

La somma degli angoli di un triangolo su una sfera, che ha curvatura positiva, è maggiore di .

La somma degli angoli di un triangolo su una superficie di curvatura ovunque positiva è maggiore di , mentre è minore se la superficie ha curvatura ovunque negativa.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Teorema egregium[modifica | modifica wikitesto]

Per il teorema egregium dimostrato da Gauss nel 1828, la curvatura gaussiana dipende solo dalla sua prima forma fondamentale, cioè dal suo tensore metrico.

La curvatura gaussiana è quindi invariante per isometrie della superficie: si tratta cioè di una proprietà intrinseca della superficie. Una isometria non è necessariamente un movimento rigido dello spazio: un esempio è fornito da un foglio di carta, che può essere arrotolato fino a formare un cilindro. Piano e cilindro sono (almeno localmente) isometrici.

Gauss-Bonnet[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Gauss-Bonnet fornisce una stretta connessione fra la curvatura totale di una superficie e la sua topologia. Se è una superficie compatta, il teorema asserisce che

cioè la curvatura totale della superficie è pari alla sua caratteristica di Eulero, moltiplicata per .

Ad esempio, una sfera di raggio ha caratteristica 2, e la sua curvatura totale è sempre , indipendentemente da . Infatti, è pari al prodotto fra l'area e la curvatura, che è costantemente pari a , poiché entrambe le curvature principali sono . Più sorprendentemente, la curvatura totale di una qualsiasi superficie omeomorfa alla sfera (ad esempio, il bordo di un ellissoide) è sempre .

I punti più esterni di un Toro hanno curvatura positiva, quelli più interni negativa, e si compensano in modo che l'integrale sulla superficie sia nullo.

Un toro ha caratteristica di Eulero nulla. Ne segue che la sua curvatura totale è nulla: o questa è ovunque nulla (cosa però impossibile per un toro contenuto nello spazio tridimensionale), oppure presenta zone di curvatura positiva e zone di curvatura negativa.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Manfredo do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, 1976, ISBN 0-13-212589-7.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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