Radicale doppio

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Si definisce radicale quadratico doppio ogni espressione della forma:

oppure

I radicali doppi si trovano nelle formule risolutive delle equazioni di terzo e quarto grado, anche se furono studiati già da Euclide nel X Libro dei suoi Elementi.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Talvolta è possibile trasformare un radicale doppio in una somma di due radicali. Si consideri per esempio la prima forma: ci si propone di trovare due numeri e tali che:

Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene:

Quest'uguaglianza è sicuramente verificata se si pone:

cioè:

Le soluzioni di questo sistema simmetrico sono le radici dell'equazione quadratica

Risolvendo quest'equazione si ottiene

e quindi:

Si ottiene così l'identità cercata:

Analogamente si può ottenere:

D'altronde è facile verificare che queste identità sono realmente verificate (a patto che , ed siano positivi).

Si noti come il secondo membro sia in generale una somma di radicali doppi, perciò l'identità è effettivamente utile solo se è un quadrato perfetto. Ad esempio:

e, semplificando e razionalizzando, si ottiene:

Invece il radicale doppio non si può semplificare, dal momento che non è un quadrato perfetto.

Esempio "quadrato perfetto razionale". Considerando che , e , si ha:

Ramanujan scoprì che

,

ad esempio

,

ha soluzione 3 che si ottiene ponendo x = 2, n = 1, e a = 0.[1]

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Per calcolare un radicale quadratico doppio, quando è possibile, è conveniente in termini di tempo e chiarezza trasformare il radicando in una potenza ad esponente pari:

La formula può essere usata per dimostrare che

Ecco come si procede:

adesso applicando la formula:

equivalente a

Esempio di radicale cubico doppio[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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  1. ^ Kanigel 1991, p. 87