Radicale doppio

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Si definisce radicale quadratico doppio ogni espressione della forma:

\sqrt{a + \sqrt{b}}

oppure

\sqrt{a - \sqrt{b}}\,.

I radicali doppi si trovano nelle formule risolutive delle equazioni di terzo e quarto grado, anche se furono studiati già da Euclide nel X Libro dei suoi Elementi.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Talvolta è possibile trasformare un radicale doppio in una somma di due radicali. Si consideri per esempio la prima forma: ci si propone di trovare 2 numeri x e y tali che:

\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}

Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene:

a + \sqrt{b} = x + y + \sqrt{4xy}

Quest'uguaglianza è sicuramente verificata se si pone:


\left\{
\begin{matrix}
x + y = a \\
4xy = b
\end{matrix}
\right.

cioè:


\left\{
\begin{matrix}
x + y = a \\
xy = \frac{b}{4}
\end{matrix}
\right.

Le soluzioni di questo sistema simmetrico sono le radici dell'equazione quadratica

t^2 - at + \frac{b}{4} = 0

Risolvendo quest'equazione si ottiene

t = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - b}}{2}

e quindi:

x = \frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2} \, , \, y = \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}

Si ottiene così l'identità cercata:

\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}

Analogamente si può ottenere:

\sqrt{a - \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}

D'altronde è facile verificare che queste identità sono realmente verificate (a patto che a, b ed a2 - b siano positivi).

Si noti come il secondo membro sia in generale una somma di radicali doppi, perciò l'identità è effettivamente utile solo se a2 - b è un quadrato perfetto. Ad esempio:

\sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3 + \sqrt{3^2 - 5}}{2}} - \sqrt{\frac{3 - \sqrt{3^2 - 5}}{2}}

e, semplificando e razionalizzando, si ottiene:

\sqrt{3 - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}

Invece il radicale doppio \sqrt{3 + \sqrt{2}} non si può semplificare, dal momento che 32 - 2 = 7 non è un quadrato perfetto.

Esempio "quadrato perfetto razionale" (notio: 5.52 - 10 = 4.52 et 5.5 + 4.5 = 10 et 5.5 - 4.5 = 1):

\sqrt{5.5 - \sqrt{2}\sqrt{5} } = \sqrt{\frac{11}{2}-\sqrt{10}}= \sqrt{\frac{11-2\sqrt{10}}{2}}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{10}+1}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{(\sqrt{10}-1)^2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}=\sqrt{5}-\frac{\sqrt{2}}{2} = (\frac{\sqrt{20}-\sqrt{2}}{2})

Esempi[modifica | modifica sorgente]

La formula può essere usata per dimostrare che \cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt 6+\sqrt2}{4}.

Ecco come si procede:

\cos\frac{\pi}{12} = \cos \left(\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{\frac{1+\cos\frac{\pi}{6}}{2}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}

adesso applicando la formula:

\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2} = \frac{\sqrt\frac{2+\sqrt{4-3}}{2}+\sqrt\frac{2-\sqrt{4-3}}{2}}{2} = \frac{\sqrt\frac{3}{2}+\sqrt\frac{1}{2}}{2} = \frac{\sqrt 6+\sqrt2}{4}

equivalente: \frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2} = \frac{\sqrt\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}{2} =\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}}{2\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt 6+\sqrt2}{4}

Esempio di radicale cubico doppio[modifica | modifica sorgente]

 \sqrt[3]{ \sqrt{5}-2 } =  \sqrt[3]{ \frac{8 \sqrt{5} -16}{8} } = \sqrt[3]{ \frac{5 \sqrt{5}-15+3  \sqrt{5}-1 }{8} } =  \sqrt[3]{ \frac{(\sqrt{5} -1)^{3}}{8} } = \frac{ \sqrt{5} -1}{2}

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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