Distribuzione Gamma

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Distribuzione Gamma
Funzione di densità di probabilità
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Funzione di ripartizione
Parametri e
oppure
e
(, )
Supporto
Funzione di densità
(con la funzione Gamma)
Funzione di ripartizione
( è la funzione Gamma incompleta inferiore regolarizzata)
Valore atteso
Mediana
Moda se
Varianza
Indice di asimmetria
Curtosi
Entropia
(con la funzione digamma)
Funzione generatrice dei momenti per
Funzione caratteristica

In teoria delle probabilità la distribuzione Gamma è una distribuzione di probabilità continua, che comprende, come casi particolari, anche le distribuzioni esponenziale e chi quadrato.

Viene utilizzata come modello generale dei tempi di attesa nella teoria delle code, soprattutto qualora siano importanti effetti che rimuovano "l'assenza di memoria" della distribuzione esponenziale. Nella statistica bayesiana è comune sia come distribuzione a priori che come distribuzione a posteriori.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La distribuzione Gamma è la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria definita come la somma di variabili aleatorie indipendenti e con distribuzione esponenziale; la distribuzione Gamma è una distribuzione di probabilità definita sui numeri reali positivi, . A seconda degli autori, viene parametrizzata in due modi diversi: sia tramite la coppia di numeri positivi , sia tramite la coppia di numeri positivi . Le due parametrizzazioni sono legate dalle relazioni e . Nel seguito si farà riferimento alla parametrizzazione Gamma.

La sua funzione di densità di probabilità è

,

dove è la funzione Gamma di Eulero.

Possiamo osservare che se vale che

La sua funzione di ripartizione è la funzione Gamma incompleta inferiore regolarizzata

,

dove è la funzione Gamma incompleta inferiore.

Caratteristiche[modifica | modifica wikitesto]

I momenti semplici della distribuzione Gamma di parametri sono

In particolare la distribuzione ha

  • valore atteso ,
  • varianza ,
  • indice di asimmetria
  • indice di curtosi

Funzione generatrice di momenti

che esiste per ogni valore di t tale che

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Se segue la distribuzione Gamma allora segue la distribuzione Gamma.

Se sono variabili aleatorie indipendenti, ognuna con distribuzione Gamma, allora la loro somma segue la distribuzione Gamma.

Altre distribuzioni[modifica | modifica wikitesto]

La distribuzione Gamma generalizza diverse distribuzioni:

Nell'inferenza bayesiana la distribuzione Gamma può descrivere sia a priori che a posteriori di un'osservazione il parametro di diverse distribuzioni di probabilità, ad esempio della distribuzione esponenziale e della distribuzione di Poisson.

La distribuzione Gamma inversa è la distribuzione dell'inversa di una variabile aleatoria che segue la distribuzione Gamma.

Se e sono variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni e , allora segue la distribuzione Beta , mentre segue una distribuzione Beta del secondo tipo.

Più in generale il vettore , descritto da variabili aleatorie indipendenti di distribuzioni , segue una distribuzione di Dirichlet di parametri .

Una generalizzazione della distribuzione Gamma è la distribuzione di Wishart, che generalizza anche la distribuzione .

Stimatori[modifica | modifica wikitesto]

Calcoliamo ora degli stimatori che possano, dato un campione presumibilmente Gamma distribuito, restituirci una stima dei suoi parametri e .

Per farlo adottiamo il metodo della massima verosimiglianza, pertanto cominciamo con lo scrivere la funzione di verosimiglianza dato il campione

Cominciamo con il determinare , il parametro più semplice da stimare.

Notiamo che la funzione di verosimiglianza è ovunque positiva e nel limite degli estremi di , si annulla.

Pertanto se imponiamo la sua derivata uguale a zero, nel caso la soluzione sia unica, questa deve per forza essere un punto di massimo.

Occorre adesso eguagliare a zero tale espressione

Ed ecco il nostro stimatore di , che ricorda molto una media aritmetica, riscalata sul parametro k (che ricordiamo essere uguale a 1 nel caso particolare della distribuzione esponenziale). Si può notare facilmente che il valor atteso di questo stimatore è proprio , data la linearità dell'operatore.

Ricordiamo

Prendiamo ora in esame il calcolo dello stimatore per

Anche qui la funzione di verosimiglianza si annulla per il limite di e , pertanto procediamo con il calcolo della derivata.

Con indichiamo la funzione digamma così definita

Che può essere espressa mediante una relazione integrale

Eguagliando a zero la nostra funzione di verosimiglianza otteniamo il nostro punto di massimo

La funzione digamma, nei reali positivi è strettamente crescente, per cui esiste la funzione inversa

Questo stimatore ottenuto è asintoticamente corretto, ma per valori finiti andrebbe verificato il suo valore atteso che, se risultasse essere k, allora sarebbe un corretto stimatore.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

(EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione Gamma, in MathWorld, Wolfram Research.

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