Distribuzione Gamma

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Distribuzione Gamma
Funzione di densità di probabilità
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Funzione di ripartizione
Parametri k>0\ e \theta>0\
oppure
\alpha>0\ e \beta>0\
(k=\alpha, \theta\beta=1)
Supporto \R^+
Funzione di densità \frac{x^{k-1}e^{-\frac{x}{\theta}}}{\theta^k\Gamma(k)}
(con \Gamma la funzione Gamma)
Funzione di ripartizione P(k,x)=\frac{\gamma(k,x/\theta)}{\Gamma(k)}
(\gamma è la funzione Gamma incompleta inferiore regolarizzata)
Valore atteso k\theta\
Mediana
Moda (k-1)\theta\ se k\geq 1
Varianza k\theta^2\
Indice di asimmetria \frac{2}{\sqrt{k}}
Curtosi \frac{6}{k}
Entropia k+\log\theta+\log\Gamma(k)+(1-k)\digamma(k)
(con \digamma la funzione digamma)
Funzione generatrice dei momenti (1-\theta t)^{-k}\ per t<\theta^{-1}
Funzione caratteristica (1-i\theta t)^{-k}\

In teoria delle probabilità la distribuzione Gamma è una distribuzione di probabilità continua, che comprende, come casi particolari, anche le distribuzioni esponenziale e chi quadrato.

Viene utilizzata come modello generale dei tempi di attesa nella teoria delle code, soprattutto qualora siano importanti effetti che rimuovano "l'assenza di memoria" della distribuzione esponenziale. Nella statistica bayesiana è comune sia come distribuzione a priori che come distribuzione a posteriori.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La distribuzione Gamma è la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria definita come la somma di variabili aleatorie indipendenti e con distribuzione esponenziale; la distribuzione Gamma è una distribuzione di probabilità definita sui numeri reali non negativi, [0,\infty[. A seconda degli autori, viene parametrizzata in due modi diversi: sia tramite la coppia di numeri positivi (k,\theta), sia tramite la coppia di numeri positivi (\alpha,\beta). Le due parametrizzazioni sono legate dalle relazioni \alpha=k e \beta=1/\theta. Nel seguito si farà riferimento alla parametrizzazione Gamma(k,\theta).

La sua funzione di densità di probabilità è

f(x)=\frac{1}{\theta^k\Gamma(k)}x^{k-1}e^{-\frac{x}{\theta}}=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x},

dove \Gamma(k)=\int_0^\infty t^{k-1}e^{-t}dt è la funzione Gamma. Possiamo osservare che per valori interi di k vale che \Gamma(k)=(k-1)!

La sua funzione di ripartizione è la funzione Gamma incompleta inferiore regolarizzata

F(x)=P(k,x)=\frac{\gamma(k,x/\theta)}{\Gamma(k)}=\frac{\gamma(\alpha,\beta x)}{\Gamma(\alpha)},

dove \gamma(k,x)=\int_0^x t^{k-1}e^{-t}dt è la funzione Gamma incompleta inferiore.

Caratteristiche[modifica | modifica wikitesto]

I momenti semplici della distribuzione Gamma di parametri (k,\theta) sono \mu_n=E[X^n]=\tfrac{1}{\theta^k\Gamma(k)}\int_0^{\infty}x^{k+n-1}e^{-\frac{x}{\theta}}dx=\theta^n\frac{\Gamma(k+n)}{\Gamma(k)}=\theta^n k(k+1)\cdots(k+n-1), dove X è una variabile aleatoria che segue questa distribuzione e la funzione Gamma ha la proprietà \tfrac{\Gamma(y+1)}{\Gamma(y)}=y.

In particolare la distribuzione ha

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Se X segue la distribuzione Gamma(k,\theta) allora aX segue la distribuzione Gamma(k,\theta/a).

Se X_1,...X_n sono variabili aleatorie indipendenti, ognuna con distribuzione Gamma(k_i,\theta), allora la loro somma X_1+...+X_n segue la distribuzione Gamma(k_1+...+k_n,\theta).

Altre distribuzioni[modifica | modifica wikitesto]

La distribuzione Gamma generalizza diverse distribuzioni:

Nell'inferenza bayesiana la distribuzione Gamma può descrivere sia a priori che a posteriori di un'osservazione il parametro X di diverse distribuzioni di probabilità, ad esempio della distribuzione esponenziale e della distribuzione di Poisson.

La distribuzione Gamma inversa è la distribuzione dell'inversa X^{-1} di una variabile aleatoria X che segue la distribuzione Gamma.

Se X e Y sono variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni \Gamma(k_1,\theta) e \Gamma(k_2,\theta), allora Z=\tfrac{X}{X+Y} segue la distribuzione Beta \Beta(k_1,k_2), mentre \tfrac{X}{Y}=\tfrac{Z}{1-Z} segue una distribuzione Beta del secondo tipo.

Più in generale il vettore \tfrac{1}{X_1+\ldots+X_n}(X_1,\ldots,X_n), descritto da n variabili aleatorie indipendenti X_i di distribuzioni Gamma(k_i,\theta), segue una distribuzione di Dirichlet di parametri (k_1,\ldots,k_n).

Una generalizzazione della distribuzione Gamma è la distribuzione di Wishart, che generalizza anche la distribuzione \chi^2.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

(EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione Gamma in MathWorld, Wolfram Research.

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