Distribuzione Gamma inversa

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In teoria delle probabilità la distribuzione casuale gamma inversa è una distribuzione di probabilità, dipendente da due parametri α e β.

Inverse gamma pdf.png
La variabile aleatoria ha come supporto i reali positivi e parametri strettamente maggiori di zero.
La sua funzione di densità di probabilità è 
Inverse gamma cdf.png
La funzione di distribuzione cumulativa di probabilità è

dove è la funzione gamma incompleta e la funzione gamma di Eulero.

Calcoliamo i momenti semplici della nostra distribuzione

Ora applichiamo la sostituzione troviamo quindi quanto segue

Quest'ultimo integrale converge per

nel caso possiamo applicare la definizione integrale della funzione

Da qui possiamo ricavarci il valore atteso della nostra variabile aleatoria

per ogni α > 1

e la sua varianza, che ricordiamo essere

Che nel nostro caso esisterà per il parametro α > 2

Procediamo ora ad un semplice calcolo per ottenere la moda della nostra distribuzione

il secondo fattore di questo prodotto non si annulla mai e può essere semplificato, ottenendo così un'unica soluzione. Pertanto se la derivata si annulla in un solo punto e la funzione vale 0 agli estremi dell'intervallo in cui è definita positiva, allora il nostro punto è effettivamente un punto di massimo.

Per cui l'intera distribuzione è maggiorata da

Distribuzioni collegate[modifica | modifica wikitesto]

  • allora se e ; è la variabile casuale chi quadro inversa
  • allora se ; è la variabile casuale Gamma

Derivazione[modifica | modifica wikitesto]

X è nel nostro caso una variabile aleatoria di tipo Gamma, per cui la sua funzione di densità di probabilità si può scrivere come segue

e l'insieme di supporto A coincide con i reali positivi.

Definiamo quindi la trasformazione a cui associare la nuova variabile aleatoria Y.

per cui anche B effettivamente coincide con i reali positivi.

Pertanto procediamo con il calcolare dato dalla seguente relazione

Che risulta essere proprio la nostra variabile aleatoria discussa finora.

Vedasi anche[modifica | modifica wikitesto]

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