In teoria delle probabilità la distribuzione casuale gamma inversa è una distribuzione di probabilità , dipendente da due parametri α e β.
La variabile aleatoria ha come supporto i reali positivi e parametri strettamente maggiori di zero.
X
:
Ω
→
R
+
{\displaystyle X:\Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{+}}
α
,
β
∈
R
+
{\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} ^{+}}
La sua funzione di densità di probabilità è
f
(
x
)
=
β
α
Γ
(
α
)
e
−
β
x
x
α
+
1
{\displaystyle f(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {e^{-{\frac {\beta }{x}}}}{x^{\alpha +1}}}}
La funzione di distribuzione cumulativa di probabilità è
F
(
x
)
=
∫
0
x
f
(
t
)
d
t
=
Γ
(
α
,
β
/
x
)
Γ
(
α
)
{\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}{f(t)dt}={\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}}
dove
Γ
(
α
,
β
/
x
)
{\displaystyle \Gamma (\alpha ,\beta /x)}
funzione gamma incompleta e
Γ
(
α
)
{\displaystyle \Gamma (\alpha )}
funzione gamma di Eulero .
Calcoliamo i momenti semplici della nostra distribuzione
μ
k
=
∫
0
∞
x
k
f
(
x
)
d
x
=
β
α
Γ
(
α
)
∫
0
∞
e
−
β
x
x
α
+
1
−
k
d
x
{\displaystyle \mu _{k}=\int _{0}^{\infty }x^{k}f(x)dx={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {\beta }{x}}}}{x^{\alpha +1-k}}}dx}
Ora applichiamo la sostituzione
z
=
β
x
⇔
d
z
=
−
β
x
2
d
x
=
−
z
2
β
d
x
{\displaystyle z={\frac {\beta }{x}}\Leftrightarrow dz=-{\frac {\beta }{x^{2}}}dx=-{\frac {z^{2}}{\beta }}dx}
μ
k
=
β
α
+
1
Γ
(
α
)
∫
0
∞
z
α
−
1
−
k
β
α
+
1
−
k
e
−
z
d
z
=
β
k
Γ
(
α
)
∫
0
∞
z
α
−
k
−
1
e
−
z
d
z
{\displaystyle \mu _{k}={\frac {\beta ^{\alpha +1}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{\alpha -1-k}}{\beta ^{\alpha +1-k}}}e^{-z}dz={\frac {\beta ^{k}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{\infty }z^{\alpha -k-1}e^{-z}dz}
Quest'ultimo integrale converge per
α
−
k
∈
R
+
⇒
α
>
k
{\displaystyle \alpha -k\in \mathbb {R} ^{+}\Rightarrow \alpha >k}
nel caso possiamo applicare la definizione integrale della funzione
Γ
(
x
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}dt}
μ
k
=
β
k
⋅
Γ
(
α
−
k
)
Γ
(
α
)
=
β
k
∏
i
=
1
k
1
α
−
i
{\displaystyle \mu _{k}=\beta ^{k}\cdot {\frac {\Gamma (\alpha -k)}{\Gamma (\alpha )}}=\beta ^{k}\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{\alpha -i}}}
Da qui possiamo ricavarci il valore atteso della nostra variabile aleatoria
E
[
X
]
=
β
α
−
1
{\displaystyle \mathbb {E} [X]={\frac {\beta }{\alpha -1}}}
e la sua varianza, che ricordiamo essere
V
a
r
(
X
)
:=
E
[
(
X
−
E
[
X
]
)
2
]
=
E
[
X
2
]
−
E
2
[
X
]
{\displaystyle Var(X):=\mathbb {E} [(X-\mathbb {E} [X])^{2}]=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} ^{2}[X]}
Che nel nostro caso esisterà per il parametro α > 2
V
a
r
(
X
)
=
β
2
(
α
−
1
)
(
α
−
2
)
−
β
2
(
α
−
1
)
2
=
β
2
(
α
−
1
)
−
β
2
(
α
−
2
)
(
α
−
1
)
2
(
α
−
2
)
=
β
2
(
α
−
1
)
2
(
α
−
2
)
{\displaystyle Var(X)={\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -1)(\alpha -2)}}-{\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -1)^{2}}}={\frac {\beta ^{2}(\alpha -1)-\beta ^{2}(\alpha -2)}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}={\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}}
Procediamo ora ad un semplice calcolo per ottenere la moda della nostra distribuzione
(
d
f
d
x
)
x
=
x
∗
=
0
⇒
[
β
x
∗
−
1
−
(
α
+
1
)
]
β
α
Γ
(
α
)
x
∗
−
(
α
+
2
)
e
−
β
x
∗
=
0
{\displaystyle \left({\frac {df}{dx}}\right)_{x=x^{*}}=0\Rightarrow \left[\beta {x^{*}}^{-1}-(\alpha +1)\right]{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}{x^{*}}^{-(\alpha +2)}e^{-{\frac {\beta }{x^{*}}}}=0}
il secondo fattore di questo prodotto non si annulla mai e può essere semplificato, ottenendo così un'unica soluzione. Pertanto se la derivata si annulla in un solo punto e la funzione vale 0 agli estremi dell'intervallo
[
0
,
∞
)
{\displaystyle [0,\infty )}
x
∗
=
β
α
+
1
{\displaystyle {x^{*}}={\frac {\beta }{\alpha +1}}}
Per cui l'intera distribuzione è maggiorata da
f
(
x
∗
)
=
(
α
+
1
)
α
+
1
β
Γ
(
α
)
e
−
(
α
+
1
)
{\displaystyle f(x^{*})={\frac {(\alpha +1)^{\alpha +1}}{\beta \Gamma (\alpha )}}e^{-(\alpha +1)}}
X
∼
Inv-Gamma
(
α
,
β
)
{\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )}
X
∼
Inv-chi-square
(
ν
)
{\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-chi-square}}(\nu )}
α
=
ν
2
{\displaystyle \alpha ={\frac {\nu }{2}}}
β
=
1
2
{\displaystyle \beta ={\frac {1}{2}}}
X
{\displaystyle X}
variabile casuale chi quadro inversa
X
∼
Gamma
(
k
,
θ
)
{\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(k,\theta )}
Y
∼
Inv-Gamma
(
k
,
θ
)
{\displaystyle Y\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(k,\theta )}
Y
=
1
X
{\displaystyle Y={\frac {1}{X}}}
X
{\displaystyle X}
variabile casuale Gamma
X
:
Ω
→
A
⊆
R
{\displaystyle X:\Omega \rightarrow A\subseteq \mathbb {R} }
Y
:
Ω
′
→
B
⊆
R
{\displaystyle Y:\Omega '\rightarrow B\subseteq \mathbb {R} }
X è nel nostro caso una variabile aleatoria di tipo Gamma , per cui la sua funzione di densità di probabilità si può scrivere come segue
f
X
(
x
)
=
β
α
x
α
−
1
e
−
β
x
Γ
(
α
)
{\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\beta ^{\alpha }x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}{\Gamma (\alpha )}}}
Definiamo quindi la trasformazione a cui associare la nuova variabile aleatoria Y.
g
:
A
→
B
{\displaystyle g:A\rightarrow B}
Y
=
g
(
X
)
=
1
X
{\displaystyle Y=g(X)={\frac {1}{X}}}
Pertanto procediamo con il calcolare
f
Y
(
y
)
{\displaystyle f_{Y}(y)}
f
Y
(
y
)
=
f
X
(
g
−
1
(
y
)
)
|
d
d
y
g
−
1
(
y
)
|
{\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}\left(g^{-1}(y)\right)\left|{\frac {d}{dy}}g^{-1}(y)\right|}
f
Y
(
y
)
=
β
α
Γ
(
α
)
⋅
y
−
α
+
1
e
−
β
y
1
y
2
=
β
α
Γ
(
α
)
⋅
y
−
α
−
1
e
−
β
y
{\displaystyle f_{Y}(y)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\cdot y^{-\alpha +1}e^{-{\frac {\beta }{y}}}{\frac {1}{y^{2}}}={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\cdot y^{-\alpha -1}e^{-{\frac {\beta }{y}}}}
Che risulta essere proprio la nostra variabile aleatoria discussa finora.
![{\displaystyle \mathbb {E} [X]={\frac {\beta }{\alpha -1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bff96a5f6191d2f3da40dc7e94c4598afd16226a)
![{\displaystyle Var(X):=\mathbb {E} [(X-\mathbb {E} [X])^{2}]=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} ^{2}[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69569eb052b0c19c68a4e5ab625791311e95ac92)
![{\displaystyle \left({\frac {df}{dx}}\right)_{x=x^{*}}=0\Rightarrow \left[\beta {x^{*}}^{-1}-(\alpha +1)\right]{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}{x^{*}}^{-(\alpha +2)}e^{-{\frac {\beta }{x^{*}}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9742d575e3a177dbae7b54b2a6b9cd80648652ea)
