Distribuzione discreta uniforme

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Distribuzione discreta uniforme su elementi in progressione aritmetica
Funzione di distribuzione discreta
Distribuzione di probabilità
Funzione di ripartizione
Funzione di ripartizione
Parametri -\infty<a\leqslant b<\infty estremi della progressione
n elementi nella progressione
Supporto S=\left\{a, ..., a+\frac{i-1}{n-1}(b-a), ..., b\right\}
Funzione di densità \frac{1}{n} su S\
Funzione di ripartizione \frac{i}{n} per a+\frac{i-1}{n-1}(b-a)
Valore atteso \frac{a+b}{2}
Mediana \frac{a+b}{2}
Moda
Varianza \frac{(a-b)^2}{12}\frac{n+1}{n-1}=\frac{n^2-1}{12}
Indice di asimmetria 0
Curtosi -\frac{6}{5}\frac{n^2+1}{n^2-1}
Entropia \log n
Funzione generatrice dei momenti \frac{1}{n}e^{at}\frac{1-e^{\frac{n}{n-1}(b-a)t}}{1-e^{\frac{1}{n-1}(b-a)t}}
Funzione caratteristica \frac{1}{n}e^{iat}\frac{1-e^{i\frac{n}{n-1}(b-a)t}}{1-e^{i\frac{1}{n-1}(b-a)t}}

In teoria delle probabilità una distribuzione discreta uniforme è una distribuzione di probabilità discreta che è uniforme su un insieme, ovvero che attribuisce la stessa probabilità ad ogni elemento dell'insieme discreto S su cui è definita (in particolare l'insieme dev'essere finito).

Un esempio di distribuzione discreta uniforme è fornito dal lancio di un dado equilibrato: ognuno dei valori 1, 2, 3, 4, 5 e 6 ha eguale probabilità 1/6 di verificarsi.

Questa distribuzione di probabilità è quella che fornisce la classica definizione di probabilità "casi favorevoli su casi possibili": la probabilità di un evento A\subset S è data dal rapporto tra le cardinalità dei due insiemi,

P(A)=\frac{\#A}{\#S}

Definizione[modifica | modifica sorgente]

La distribuzione discreta uniforme su un insieme finito S è la distribuzione di probabilità \mathcal{U}(S) che attribuisce a tutti gli elementi di S la stessa probabilità p di verificarsi.

In particolare, dalla relazione

1=P(S)=\sum_{s\in S}P(s)=\sum_{s\in S}p=p\cdot \#S

seguono

P(s)=\frac{1}{\#S} per ogni elemento s\in S,
P(A)=\frac{\#A}{\#S} per ogni sottoinsieme A\subset S.

Progressione aritmetica[modifica | modifica sorgente]

Spesso viene considerata la distribuzione discreta uniforme su un insieme S i cui elementi sono in progressione aritmetica, ovvero del tipo

S=\{\alpha+i\beta\colon i\in\{1,2,...,n\}\}.

In questo caso l'insieme S può essere descritto come un insieme di n elementi in progressione aritmetica, da a a b, con elementi della forma

x_i=a+\frac{i-1}{n-1}(b-a),

con x_1=a e x_n=b.

In questo modo la distribuzione discreta uniforme diventa una sorta di approssimazione della distribuzione continua uniforme sull'intervallo [a,b]

Caratteristiche[modifica | modifica sorgente]

La distribuzione \mathcal{U}([a,b],n) è simmetrica rispetto al punto medio (a+b)/2 del segmento [a,b]. Una variabile aleatoria U con questa distribuzione ha quindi speranza E(U)=(a+b)/2 e indice di asimmetria \gamma_1=0. Inoltre ha

\text{Var}(U)=\frac{(a-b)^2}{12}\frac{n+1}{n-1},
\gamma_2=-\frac{5}{6}\frac{n^2+1}{n^2-1},
g(t,U)=E[e^{tU}]=\frac{1}{n}(e^{at}+e^{at+\beta t}+e^{at+2\beta t}+...+e^{at+n\beta t})=\frac{1}{n}e^{at}\frac{1-e^{\frac{n}{n-1}(b-a)t}}{1-e^{\frac{1}{n-1}(b-a)t}}
H(U)=\log n\ (il massimo valore possibile per una distribuzione su n elementi).

Altre distribuzioni[modifica | modifica sorgente]

Il parallelo della distribuzione discreta uniforme tra le distribuzioni di probabilità continue è la distribuzione continua uniforme: una distribuzione definita su un insieme continuo S, che attribuisce la stessa probabilità a due intervalli della stessa lunghezza, contenuti in S, ovvero la cui densità di probabilità assume un valore costante su S.

Distribuzione su due valori[modifica | modifica sorgente]

La distribuzione di Bernoulli \mathcal{B}(p) con p=1/2 è una distribuzione discreta uniforme: i due valori 0 e 1 hanno entrambi probabilità

p=1-p=1/2.

Ogni altra distribuzione discreta uniforme su due valori a e b può essere espressa tramite una variabile aleatoria X con distribuzione di Bernoulli \mathcal{B}(\tfrac{1}{2}), considerando la variabile aleatoria {Y=aX+b(1-X)}.

La distribuzione discreta uniforme sui due valori 1 e -1 è anche detta distribuzione di Rademacher, dal matematico tedesco Hans Rademacher; al pari di altre distribuzioni su due valori, viene utilizzata nel metodo bootstrap per il ricampionamento dei dati.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

(EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione discreta uniforme in MathWorld, Wolfram Research.

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