Progressione aritmetica

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In matematica una progressione aritmetica è una successione di numeri tali che la differenza tra ciascun termine e il suo precedente sia una costante. Tale costante viene detta ragione della progressione. Per esempio, la successione 3, 5, 7, 9, 11, ... è una progressione aritmetica di ragione 2.

Calcolo[modifica | modifica sorgente]

Se il primo termine di una progressione aritmetica è a e la ragione è d, allora l'n-esimo termine della successione è dato da:

a_n=a+(n-1)d

Tale proprietà può essere estesa a un qualsiasi termine della progressione; si avrà quindi che:

a_r=a_s+(r-s)d

La somma dei numeri di una progressione aritmetica finita si chiama serie aritmetica. La somma S dei primi n valori di una progressione aritmetica è uguale a:

S_n={{1\over 2}}n(a_1 + a_n)

dove a_1 è il primo termine e a_n l'n-esimo.

Esempio: Somma dei primi n positivi[modifica | modifica sorgente]

Per esempio per trovare la somma dei primi n interi positivi:

\sum_{k=1}^n k

si calcola:

1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Si deve dimostrare che \frac {n(a_1+a_n)}{2}=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n. Posizioniamo due progressioni aritmetiche uguali a quella data una sopra l'altra e con gli addendi invertiti di posizione. Ponendo S uguale alla somma e andando poi a sommare in verticali gli addendi corrispondenti, abbiamo che:

S=(a_1)+(a_2)+(a_3)+\cdots+(a_n)
S=(a_n)+(a_{n-1})+\cdots+(a_2)+(a_1)
______________________________________________________
2S=(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+\cdots+(a_1+a_n)


La riga inferiore presenta addendi uguali perché (a_1+a_n)=(a_2+a_{n-1})=(a_3+a_{n-2})=\cdots=(a_1+a_n). Ciò è facilmente dimostrabile. Infatti, ricordando che l'n-esimo termine è dato da a_1+(n-1)d, effettuando le seguenti sostituzioni:

  • (a_2)=(a_1+d)
  • (a_{n-1})=(a_n-d)

e scrivendo

(a_1+a_n)=(a_1+d)+(a_n-d)

si dimostra che

(a_1+a_n)=(a_2+a_{n-1}).

Simili uguaglianze sono dimostrabili per gli altri termini della somma. Ma allora, ricordando che la somma della riga inferiore contiene n termini

2S=n(a_1+a_n)

dividendo entrambi i membri dell'equazione per 2

S=\frac {n(a_1+a_n)}{2}

Caratteristiche[modifica | modifica sorgente]

Le progressioni aritmetiche forniscono le sequenze di intervalli consecutivi di uguale ampiezza (la ragione); queste sequenze servono per la definizione degli integrali e per le campionature delle funzioni reali di una variabile reale; queste ultime sono utilizzate per la presentazione grafica di queste funzioni in tutti gli odierni sistemi e pacchetti computazionali.

Il teorema di Dirichlet, dimostrato nel 1837 da Peter Gustav Lejeune Dirichlet, afferma che in ogni progressione aritmetica in cui il primo termine a e la ragione d siano interi coprimi (ovvero valga MCD(a,d)=1) si trovano infiniti numeri primi.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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