Distribuzione di Kumaraswamy

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In teoria della probabilità la distribuzione di Kumaraswamy è una distribuzione di probabilità continua, definita sull'intervallo [0,1] e dipendente da due paramentri. È simile alla variabile casuale Beta, ma è più semplice da usare grazie alle semplici espressioni chiuse della funzione di densità di probabilità e della frequenza cumulata. Porta il nome di Poondi Kumaraswamy che la descrisse per primo.[1]

Le funzione di densità di probabilità delle variabile casuale di Kumaraswamy per alcuni valori dei parametri.
Confronto tra le variabili casuali Beta e di Kumaraswamy per una scelta dei parametri.
Confronto tra le variabili casuali Beta e di Kumaraswamy per una scelta dei parametri.

Caratteristiche[modifica | modifica wikitesto]

La funzione di densità di probabilità è definita da

, dove a e b sono i due parametri e

si ottiene così che la cumulata è

e il valore atteso diventa

mentre la mediana è

e la moda

I momenti di ordine n sono calcolabili con

dove e sono rispettivamente la funzione Gamma e la funzione Beta di Eulero.


Relazione con altre distribuzioni[modifica | modifica wikitesto]

  • Se allora
  • Se (distribuzione continua uniforme) allora
  • Se (variabile casuale Beta) allora
  • Se (variabile casuale Beta) allora
  • Se allora
  • Se allora
  • Se allora
  • Se allora
  • Se allora , la distribuzione Beta generalizzata di primo ordine.

Implementazioni in software[modifica | modifica wikitesto]

In R tramite il pacchetto extraDistr sono disponibili le seguenti funzioni[2]

dkumar(x, a = 1, b = 1, log = FALSE)
pkumar(q, a = 1, b = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qkumar(p, a = 1, b = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
rkumar(n, a = 1, b = 1)

rispettivamente funzione di densità, di probabilità, dei quantili e generatore di numeri casuali.


Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Kumaraswamy, P., A generalized probability density function for double-bounded random processes, in Journal of Hydrology, vol. 46, 1-2, 1980, pp. 79–88, DOI:10.1016/0022-1694(80)90036-0.
  • Fletcher, S.G. e Ponnambalam, K., Estimation of reservoir yield and storage distribution using moments analysis, in Journal of Hydrology, vol. 182, 1-4, 1996, pp. 259–275, DOI:10.1016/0022-1694(95)02946-X.
  • Jones, M.C., Kumaraswamy's distribution: A beta-type distribution with some tractability advantages, in Statistical Methodology, vol. 6, nº 1, 2009, pp. 70–81, DOI:10.1016/j.stamet.2008.04.001.
  • Lemonte, A.J., Improved point estimation for the Kumaraswamy distribution, in Journal of Statistical Computation and Simulation, vol. 81, nº 12, 2011, pp. 1971–1982, DOI:10.1080/00949655.2010.511621.


  1. ^ "A generalized probability density function for double-bounded random processes". Journal of Hydrology, 1980
  2. ^ https://cran.r-project.org/web/packages/extraDistr/


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