Spazio omogeneo

In geometria, uno spazio omogeneo è uno spazio i cui punti sono indistinguibili. La nozione si basa sul concetto di omogeneità, applicato in fisica ad esempio ad un corpo o all'intero universo.

In matematica questa nozione è resa formalmente dalla presenza di un gruppo che agisce sullo spazio in modo transitivo.

Definizione

Definizione generale

Uno spazio omogeneo è una tripla $(X,G,\rho )$ formata da un insieme $X$, un gruppo $G$ e un'azione

$\rho \colon G\to {\rm {Aut}}(X)$

che associa ad un elemento $g$ del gruppo un automorfismo (cioè una biezione o equivalentemente una permutazione) $\rho (g)$ di $X$. L'azione deve essere transitiva: per ogni coppia $x,y$ di elementi di $X$ deve esistere almeno un elemento $g$ tale che $\rho (g)(x)=y$.

Strutture

Se l'insieme $X$ è dotato di una struttura, generalmente si suppone che gli automorfismi in ${\rm {Aut}}(X)$ preservino questa struttura. Ad esempio:

• Se $X$ è uno spazio topologico, gli automorfismi sono omeomorfismi,
• Se $X$ è una varietà differenziabile, gli automorfismi sono diffeomorfismi,
• Se $X$ è una varietà riemanniana o un più generale spazio metrico, gli automorfismi sono isometrie.

Proprietà

Poiché per ogni coppia di punti $x$ e $y$ esiste un automorfismo che manda $x$ in $y$, i punti di $X$ sono indistinguibili dalla struttura. Ad esempio, la circonferenza $X$, con il gruppo $G$ delle rotazioni, è uno spazio omogeneo, perché tramite un'opportuna rotazione è possibile spostare qualsiasi punto $x$ in un punto dato $y$. D'altra parte, il quadrato con il gruppo delle rotazioni non è omogeneo, perché non è possibile con una rotazione spostare ad esempio un vertice all'interno di un lato.

Esempi

Spazi a curvatura costante

La sfera $S^{n}$ di dimensione $n$ è uno spazio omogeneo con il gruppo ortogonale $G=O(n+1)$: tale gruppo agisce su $\mathbb {R} ^{n+1}$ preservando la lunghezza dei vettori, e quindi agisce sulla sfera. L'azione è effettivamente transitiva.

Lo spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ è uno spazio omogeneo con il gruppo delle traslazioni: tramite opportuna traslazione si può infatti spostare un punto in un qualsiasi altro punto dello spazio.

Lo spazio iperbolico $\mathbb {H} ^{n}$ è omogeneo con il suo gruppo delle isometrie.

Gli esempi appena descritti sono precisamente le varietà riemanniane semplicemente connesse complete a curvatura sezionale costante $K$, rispettivamente con $K>0$ (la sfera) $K=0$ (il piano) e $K<0$ (lo spazio iperbolico).

Spazi proiettivi e affini

Lo spazio proiettivo $\mathbb {P} ^{n}(K)$, definito su un campo $K$ (ad esempio, il campo dei numeri reali o complessi), è uno spazio omogeneo assieme al gruppo $G$ delle proprie proiettività.

Lo spazio affine $E^{n}$ è uno spazio omogeneo con il gruppo delle traslazioni.

Bibliografia

• (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of differential geometry 2, Wiley Classics Library.