Spazio omogeneo

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In geometria, uno spazio omogeneo è uno spazio i cui punti sono indistinguibili. La nozione si basa sul concetto di omogeneità, applicato in fisica ad esempio ad un corpo o all'intero universo.

In matematica questa nozione è resa formalmente dalla presenza di un gruppo che agisce sullo spazio in modo transitivo.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Definizione generale[modifica | modifica wikitesto]

Uno spazio omogeneo è una tripla formata da un insieme , un gruppo ed una azione

che associa ad un elemento del gruppo un automorfismo (cioè una biezione o equivalentemente una permutazione) di . L'azione deve essere transitiva: per ogni coppia di elementi di deve esistere almeno un elemento tale che .

Strutture[modifica | modifica wikitesto]

Se l'insieme è dotato di una struttura, generalmente si suppone che gli automorfismi in preservino questa struttura. Ad esempio:

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Poiché per ogni coppia di punti e esiste un automorfismo che manda in , i punti di sono indistinguibili dalla struttura. Ad esempio, la circonferenza , con il gruppo delle rotazioni, è uno spazio omogeneo, perché tramite un'opportuna rotazione è possibile spostare qualsiasi punto in un punto dato . D'altra parte, il quadrato con il gruppo delle rotazioni non è omogeneo, perché non è possibile con una rotazione spostare ad esempio un vertice all'interno di un lato.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Spazi a curvatura costante[modifica | modifica wikitesto]

La sfera di dimensione è uno spazio omogeneo con il gruppo ortogonale : tale gruppo agisce su preservando la lunghezza dei vettori, e quindi agisce sulla sfera. L'azione è effettivamente transitiva.

Lo spazio euclideo è uno spazio omogeneo con il gruppo delle traslazioni: tramite opportuna traslazione si può infatti spostare un punto in un qualsiasi altro punto dello spazio.

Lo spazio iperbolico è omogeneo con il suo gruppo delle isometrie.

Gli esempi appena descritti sono precisamente le varietà riemanniane semplicemente connesse complete a curvatura sezionale costante , rispettivamente con (la sfera) (il piano) e (lo spazio iperbolico).

Spazi proiettivi e affini[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio proiettivo , definito su un campo (ad esempio, il campo dei numeri reali o complessi), è uno spazio omogeneo assieme al gruppo delle proprie proiettività.

Lo spazio affine è uno spazio omogeneo con il gruppo delle traslazioni.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of differential geometry 2, Wiley Classics Library.
Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica