Proiettività

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In geometria proiettiva, una proiettività è una corrispondenza biunivoca tra punti di uno spazio proiettivo.

In geometria descrittiva è definita come una corrispondenza tra punti dello spazio euclideo, ottenuta per composizione di prospettività, ovvero tramite una successione finita di proiezioni rispetto ad un centro e sezioni con un piano. Un esempio di proiettività è l'omologia, ottenuta come composizione di due prospettività tra gli stessi due piani.

Geometria proiettiva[modifica | modifica wikitesto]

In geometria proiettiva, una proiettività non è altro che una trasformazione di punti dello spazio proiettivo. Ad esempio, sulla retta proiettiva , la trasformazione assume la forma:

dove e sono due punti della retta proiettiva, ρ è un parametro reale diverso da 0, e a00, a01, a10, a11 sono quattro parametri reali tali che a00a11a10a01 è non nullo (altrimenti la trasformazione non sarebbe biunivoca). La presenza del fattore ρ è dovuta al fatto che le coordinate proiettive (x0 : x1) sono date a meno di un fattore moltiplicativo reale non nullo (ovvero (x0 : x1) = (ρx0 : ρx1).

In coordinate affini, l'equazione della proiettività diventa:

(con x = x1/x0 e x' = x'1/x'0)

Sulla retta proiettiva, viene inoltre mantenuto il birapporto tra punti corrispondenti. In altre parole, chiamati A, B, C e D quattro punti sulla retta proiettiva e A', B', C', D' i loro trasformati, si ha che:

ovvero

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