Spazio iperbolico

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Una tassellazione del piano iperbolico tramite triangoli.

In matematica, lo spazio iperbolico è uno spazio introdotto indipendentemente dai matematici Bolyai e Lobachevsky nel XIX secolo, su cui è definita una particolare geometria non euclidea, detta geometria iperbolica. Si tratta dell'esempio più importante di geometria non euclidea, assieme alla geometria ellittica.

Lo spazio iperbolico ha dimensione arbitraria ed è indicato con . Può essere realizzato tramite vari modelli equivalenti, quali ad esempio il disco, il semispazio di Poincaré o il modello dell'iperboloide. Come nella geometria euclidea, gli spazi più studiati sono il piano iperbolico e lo spazio iperbolico tridimensionale .

I modelli[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio iperbolico è un particolare spazio, su cui è definita una geometria che soddisfa i primi 4 assiomi di Euclide ma non il quinto. La geometria presente in questo spazio è detta iperbolica.

Il numero indica la dimensione dello spazio iperbolico. In ogni dimensione , lo spazio iperbolico può essere realizzato da differenti modelli, tutti equivalenti.

Modello del disco[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Disco di Poincaré.
Tre rette incidenti nel modello del disco. Una retta è un arco di circonferenza (o segmento) ortogonale al bordo.

Nel modello del disco di Poincaré, lo spazio iperbolico è la palla -dimensionale

Per , questo è il cerchio di raggio unitario centrato nell'origine del piano cartesiano, senza la circonferenza di bordo.

Una retta nel disco di Poincaré è un arco di circonferenza, oppure un segmento, che interseca il bordo della palla ortogonalmente in due punti. Due "rette" che si intersecano in un punto formano un angolo, e la sua ampiezza è pari all'angolo formato dalle tangenti.

Modello del semispazio[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Semispazio di Poincaré.

Nel modello del semispazio di Poincaré, lo spazio iperbolico è il semispazio

Come nel modello del disco, le rette iperboliche sono gli archi di circonferenza e le rette ortogonali al bordo. In questo modello, il bordo è l'iperpiano orizzontale .

Modello di Klein[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Modello di Klein.
Il V postulato della geometria iperbolica nel modello di Klein.

Nel modello di Klein lo spazio iperbolico è (come nel modello del disco) l'insieme dei punti interni ad un cerchio . Le rette sono però segmenti veri e propri: la maggiore semplicità nel descrivere le rette viene però pagata nella descrizione degli angoli, che sono distorti rispetto agli angoli euclidei: l'angolo formato da due rette non è quello euclideo, ma dipende da questo tramite una formula opportuna.

La distanza fra due punti e interni al disco è

dove è la distanza euclidea fra i punti e . I punti e sono le intersezioni fra la retta euclidea passante per e e il bordo . Il logaritmo è il logaritmo naturale. L'argomento del logaritmo è il birapporto dei quattro punti allineati.

Modello dell'iperboloide[modifica | modifica wikitesto]

Nel modello dell'iperboloide, lo spazio iperbolico è l'iperboloide

In questo modello, una retta è data dall'intersezione di con un piano passante per l'origine di . In questo contesto, è utile definire su una struttura di spaziotempo di Minkowski, cioè il prodotto scalare con segnatura :

L'insieme degli aventi ha due componenti connesse, una delle quali (quella superiore, avente ) è l'iperboloide . La distanza fra due punti e su è definita come

Definizione univoca[modifica | modifica wikitesto]

La definizione più rigorosa di spazio iperbolico è la seguente: è l'unica varietà iperbolica completa e semplicemente connessa di dimensione . Una varietà iperbolica è una varietà riemanniana avente curvatura sezionale costantemente .

Per "unica" si intende "a meno di isometrie": tutti i modelli elencati sopra sono in effetti collegati tramite isometrie, quindi definiscono concretamente la stessa varietà. Il fatto che esista un solo spazio con queste proprietà è un teorema importante in geometria differenziale.

Sottospazi[modifica | modifica wikitesto]

Geodetiche[modifica | modifica wikitesto]

Una geodetica è l'analogo della retta nel contesto euclideo. Nel modello del disco o del semispazio, le geodetiche sono archi di circonferenza o retta ortogonali al bordo (del disco o del semispazio). Le geodetiche hanno proprietà simili alle rette nella geometria euclidea:

  1. Per ogni coppia di punti distinti passa una sola geodetica,
  2. Per ogni punto e per ogni vettore tangente nel punto, esiste un'unica geodetica passante per il punto e tangente a questo vettore,
  3. La geodetica che collega due punti e è la curva con lunghezza minore fra tutte le curve che collegano i due punti. Questa lunghezza è proprio pari alla distanza .

Le ultime due proprietà sono valide, almeno localmente, in ogni varietà riemanniana.

Sottospazi[modifica | modifica wikitesto]

Come nello spazio euclideo, in quello iperbolico sono definiti, oltre alle geodetiche, spazi di dimensione superiore, come ad esempio i piani.

Un sottospazio di è un sottoinsieme tale che per ogni coppia e di punti in l'intera geodetica passante per e è contenuta in .

Mentre le geodetiche esistono (almeno localmente) in ogni varietà riemanniana, i sottospazi esistono solo in varietà molto particolari, quali appunto lo spazio euclideo e quello iperbolico. Come nel caso euclideo, un sottospazio di risulta essere isometrico a , per qualche . Il numero è la dimensione del sottospazio: per si ottiene una geodetica, per un piano, etc.

L'intersezione di due sottospazi è sempre un sottospazio.

Parallelismo[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Parallelismo in geometria iperbolica.

Lo spazio iperbolico si differenzia però nettamente da quello euclideo per la nozione di parallelismo. Dati due sottospazi e disgiunti, esistono due nozioni di parallelismo ben distinte:

  1. Se esiste un tale che per ogni in e ogni in , allora i due spazi sono ultraparalleli.
  2. Se non esiste un tale , i due spazi sono asintoticamente paralleli.

Nel secondo caso, esistono successioni di punti e in e le cui distanze tendono a zero. Questo fenomeno non si verifica negli spazi euclidei.

Isometrie[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Isometria dello spazio iperbolico.

Una isometria di è un movimento rigido dello spazio, cioè una funzione che sposta tutti i punti dello spazio mantenendo le distanze fra questi. Le isometrie dello spazio iperbolico si comportano per molti aspetti in modo simile a quelle dello spazio euclideo. Possono inoltre essere studiate efficacemente tramite la sfera all'infinito.

Spazio omogeneo e isotropo[modifica | modifica wikitesto]

Nello spazio euclideo , esempi di isometrie sono le traslazioni e le rotazioni. Tramite queste isometrie è possibile spostare punti e rette a piacimento: la stessa proprietà vale anche nello spazio iperbolico: questo è infatti omogeneo e isotropo: i punti e le rette sono tutti indistinguibili. Più precisamente, per ogni coppia di punti e , e per ogni coppia di rette e passanti rispettivamente per e , esiste una isometria dello spazio che manda in e in .

Sfera all'infinito[modifica | modifica wikitesto]

Nel modello del disco di Poincaré , la sfera all'infinito dello spazio iperbolico è il bordo del disco. Come spazio topologico, è omeomorfo al disco chiuso

Si tratta quindi di uno spazio compatto. Il procedimento di compattificazione tramite aggiunta di "punti all'infinito" è simile al passaggio dallo spazio euclideo a quello proiettivo.

Tipi di isometrie[modifica | modifica wikitesto]

Una isometria dello spazio iperbolico

si estende al bordo. Esiste cioè un unico omeomorfismo

che coincide con all'interno del disco, cioè su .

Il teorema del punto fisso di Brouwer asserisce che ogni omeomorfismo del disco chiuso in sé ha un punto fisso. Tale teorema, che non è valido sulla palla aperta , garantisce quindi l'esistenza di un punto fisso per la funzione estesa (ma non per ).

Una isometria che preserva l'orientazione dello spazio iperbolico è detta:

  • ellittica se ha un punto fisso in ,
  • parabolica se non ha punti fissi in e ne ha uno al bordo ,
  • iperbolica se non ha punti fissi in e ne ha due al bordo .

Non vi sono altre possibilità oltre a quelle elencate.

Varietà iperboliche complete[modifica | modifica wikitesto]

Ogni varietà iperbolica completa è ottenibile come quoziente dello spazio iperbolico per un gruppo di isometrie che agisce in modo libero e propriamente discontinuo. In particolare, una tale isometria non deve avere punti fissi in .

Se la varietà iperbolica è orientabile, il gruppo è formato da isometrie che preservano l'orientazione. Tali isometrie sono quindi iperboliche o paraboliche (le ellittiche sono escluse perché hanno punti fissi in ). Se la varietà è compatta, tutte le isometrie sono iperboliche.

Piano iperbolico[modifica | modifica wikitesto]

Geometria iperbolica[modifica | modifica wikitesto]

Piano iperbolico rappresentato tramite il disco di Poincaré.
Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Geometria iperbolica.

Il piano iperbolico è lo spazio iperbolico bidimensionale. È lo spazio iperbolico più studiato, ed il primo ad essere stato introdotto storicamente, come esempio di geometria iperbolica e quindi non-euclidea. Sul piano iperbolico sono infatti validi i primi quattro assiomi di Euclide:

  1. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta.
  2. Si può prolungare una retta oltre i due punti indefinitamente.
  3. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio.
  4. Tutti gli angoli retti sono uguali.

ma non è vero il quinto:

Data una qualsiasi retta ed un punto non appartenente ad essa, è possibile tracciare per una ed una sola retta parallela alla retta data.

Quest'ultimo assioma va infatti sostituito con il seguente:

Data una qualsiasi retta ed un punto non appartenente ad essa, è possibile tracciare per infinite rette parallele alla retta data.

Spazio iperbolico tridimensionale[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio iperbolico tridimensionale è stato oggetto di intensi studi da parte dei matematici soprattutto a partire dalla fine degli anni settanta, cioè più di un secolo dopo l'introduzione del piano iperbolico. L'improvviso interesse per lo spazio iperbolico è dovuto agli studi di William Thurston, che hanno mostrato inaspettatamente l'enorme importanza della geometria iperbolica nello studio delle varietà differenziabili di dimensione 3.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Riccardo Benedetti, Carlo Petronio, Lectures on hyperbolic geometry, Springer, 1992.
  • (EN) John Milnor, Hyperbolic geometry: the first 150 years, in Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 6, nº 1, 1982.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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