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Varietà iperbolica

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In geometria, una varietà iperbolica è una varietà riemanniana avente curvatura sezionale ovunque -1. Se la varietà è completa, questa ha come rivestimento universale lo spazio iperbolico .

Esempi di varietà iperboliche sono le superfici aventi caratteristica di Eulero negativa (dotate di un tensore metrico opportuno). Anche molte 3-varietà sono varietà iperboliche.

Una varietà iperbolica è una varietà riemanniana avente curvatura sezionale ovunque -1, indipendentemente dal punto e dal piano su cui è calcolata la curvatura.

Varietà iperboliche complete

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Ogni varietà iperbolica completa ha come rivestimento universale lo spazio iperbolico , ed è quindi ottenuta da questo come spazio quoziente tramite l'azione di un gruppo di isometrie.

Tale azione deve essere libera e propriamente discontinua. Equivalentemente, il gruppo è un sottogruppo discreto e privo di elementi di torsione del gruppo di isometrie di (quest'ultimo ha una topologia naturale).

Superfici iperboliche

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Per il teorema di classificazione delle superfici, una superficie orientabile compatta e senza bordo è determinata dal suo genere .

Su una superficie di genere esiste un tensore metrico che definisce una varietà iperbolica se e solo se . La caratteristica di Eulero è data da , e quindi questa condizione equivale alla richiesta che .

Una superficie di genere maggiore di uno ammette una infinità di strutture iperboliche differenti: queste formano uno spazio, detto spazio di Teichmüller.

Dimensioni maggiori

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Dagli studi di William Thurston intorno al 1978 è emerso che una buona parte delle 3-varietà ammette una struttura di varietà iperbolica.

Per le varietà iperboliche compatte di dimensione maggiore di due non esiste un analogo dello spazio di Teichmüller: per il teorema di rigidità di Mostow ogni tale varietà ha infatti un'unica struttura iperbolica.

  • (EN) Riccardo Benedetti, Carlo Petronio, Lectures on hyperbolic geometry, Springer, 1992.

Voci correlate

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