Varietà iperbolica

In geometria, una varietà iperbolica è una varietà riemanniana avente curvatura sezionale ovunque -1. Se la varietà è completa, questa ha come rivestimento universale lo spazio iperbolico $\mathbb {H} ^{n}$.

Esempi di varietà iperboliche sono le superfici aventi caratteristica di Eulero negativa (dotate di un tensore metrico opportuno). Anche molte 3-varietà sono varietà iperboliche.

Definizione

Una varietà iperbolica è una varietà riemanniana avente curvatura sezionale ovunque -1, indipendentemente dal punto e dal piano su cui è calcolata la curvatura.

Varietà iperboliche complete

Ogni varietà iperbolica completa ha come rivestimento universale lo spazio iperbolico $\mathbb {H} ^{n}$, ed è quindi ottenuta da questo come spazio quoziente tramite l'azione di un gruppo $G$ di isometrie.

Tale azione deve essere libera e propriamente discontinua. Equivalentemente, il gruppo $G$ è un sottogruppo discreto e privo di elementi di torsione del gruppo di isometrie di $\mathbb {H} ^{n}$ (quest'ultimo ha una topologia naturale).

Superfici iperboliche

Per il teorema di classificazione delle superfici, una superficie orientabile compatta e senza bordo è determinata dal suo genere $g$.

Su una superficie di genere $g$ esiste un tensore metrico che definisce una varietà iperbolica se e solo se $g>1$. La caratteristica di Eulero è data da $\chi =2-2g$, e quindi questa condizione equivale alla richiesta che $\chi <0$.

Una superficie di genere maggiore di uno ammette una infinità di strutture iperboliche differenti: queste formano uno spazio, detto spazio di Teichmüller.

Dimensioni maggiori

Dagli studi di William Thurston intorno al 1978 è emerso che una buona parte delle 3-varietà ammette una struttura di varietà iperbolica.

Per le varietà iperboliche compatte di dimensione maggiore di due non esiste un analogo dello spazio di Teichmüller: per il teorema di rigidità di Mostow ogni tale varietà ha infatti un'unica struttura iperbolica.

Bibliografia

• (EN) Riccardo Benedetti, Carlo Petronio, Lectures on hyperbolic geometry, Springer, 1992.

Voci correlate

• Spazio iperbolico