Curvatura sezionale

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In geometria differenziale, la curvatura sezionale misura la curvatura di una varietà riemanniana lungo piani dello spazio tangente in un punto della varietà.

La curvatura sezionale contiene la stessa quantità di informazioni del tensore di Riemann.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un punto in una varietà riemanniana , e un piano (passante per l'origine) nello spazio tangente in .

La mappa esponenziale manda un aperto di contenente l'origine su una superficie , contenuta in e tangente a in . Si tratta della superficie ottenuta prendendo localmente tutte le geodetiche uscenti da tangenti a .

La curvatura sezionale di rispetto a è la curvatura gaussiana di in .

Relazione con il tensore di Riemann[modifica | modifica wikitesto]

La curvatura sezionale può essere ricavata dal tensore di Riemann. Siano e due vettori che generano il piano ; vale la formula

dove è il tensore di Riemann, ed il prodotto scalare è dato dal tensore metrico.

D'altra parte, il tensore di Riemann può essere completamente espresso in termini delle curvature sezionali nel punto.

Spazi a curvatura sezionale costante[modifica | modifica wikitesto]

Una varietà a curvatura sezionale costante è una varietà riemanniana in cui la curvatura sezionale è sempre un valore , indipendentemente dal punto e dal piano . A meno di riscalare il tensore metrico di un fattore costante, si può supporre che questa curvatura sia , oppure . La varietà è allora detta rispettivamente iperbolica, piatta e ellittica.

Per ogni dimensione esiste (a meno di riscalamento) esattamente una varietà iperbolica, piatta e ellittica, che sia anche connessa, semplicemente connessa e completa. Queste sono rispettivamente lo spazio iperbolico , lo spazio euclideo e la sfera .

Ogni altra varietà iperbolica, piatta e ellittica completa ha uno di questi tre modelli come rivestimento universale, ed è quindi costruita a partire da questo come quoziente di un opportuno gruppo di isometrie.

Ad esempio, lo spazio proiettivo reale è una varietà ellittica ottenuta quozientando la sfera tramite la mappa antipodale.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
  • (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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