Varietà ellittica

In geometria differenziale, una varietà ellittica è una varietà riemanniana a curvatura sezionale costantemente pari a 1. Esempi di varietà ellittiche in ogni dimensione sono la sfera $S^{n}$ e lo spazio proiettivo reale. In dimensione 3 un altro importante esempio è dato dalla famiglia degli spazi lenticolari. Se la varietà è completa, il suo rivestimento universale è sempre $S^{n}$.

Una varietà in cui la curvatura sezionale è invece costantemente nulla o -1 è detta rispettivamente piatta o iperbolica.

Definizione

Una varietà ellittica è una varietà riemanniana con curvatura sezionale costantemente pari a 1, indipendentemente dal punto e dal piano su cui questa è valutata.

Varietà ellittiche complete

Ogni varietà ellittica completa ha come rivestimento universale la sfera $S^{n}$, ed è quindi ottenuta da questa come spazio quoziente tramite l'azione di un gruppo $G$ di isometrie.

Tale azione deve essere libera e propriamente discontinua. Equivalentemente, il gruppo $G$ è un sottogruppo discreto del gruppo di isometrie di $S^{n}$ (quest'ultimo ha una topologia naturale).

Poiché $S^{n}$ è compatto, il grado del rivestimento è finito: quindi è finito anche il gruppo di isometrie, a sua volta isomorfo al gruppo fondamentale della varietà ellittica. Una varietà ellittica completa ha quindi gruppo fondamentale finito.

Esempi

Sfere

Come detto sopra, il modello importante di varietà ellittica è la sfera

$S^{n}={\big \{}(x_{0},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}\ {\big |}\ x_{0}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}=1{\big \}}$

di dimensione $n$, dotata della metrica indotta dalla metrica euclidea dello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n+1}$ che la contiene. La geometria di questa varietà è detta geometria sferica: si tratta di una delle più importanti geometrie non euclidee (soprattutto in dimensione $n=2$).

Spazi proiettivi

Lo spazio proiettivo reale $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}$ di dimensione $n$ può essere definito come il quoziente

$\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}=S^{n}/_{\sim }$

della sfera tramite la relazione $\sim$ che identifica ogni punto con il suo punto antipodale. Poiché la mappa che manda ogni punto nell'antipodale è effettivamente una isometria di $S^{n}$, il quoziente eredita effettivamente una metrica ellittica.

Lo spazio proiettivo con questa metrica dà luogo ad una geometria chiamata geometria ellittica.

Spazi lenticolari

In dimensione 2, le uniche varietà ellittiche sono la sfera ed il piano proiettivo. In dimensione 3 queste formano invece alcune famiglie infinite: tra queste la più nota è quella degli spazi lenticolari, il cui gruppo fondamentale è un gruppo ciclico.

Bibliografia

• (EN) Riccardo Benedetti, Carlo Petronio, Lectures on hyperbolic geometry, Springer, 1992.

Voci correlate

• Varietà iperbolica
• Geometria sferica
• Geometria ellittica