Spazio lenticolare

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In matematica, uno spazio lenticolare è una particolare varietà ellittica. Si tratta di una 3-varietà avente una struttura di varietà riemanniana con curvatura sezionale ovunque pari a +1. Uno spazio lenticolare è indicato con

e dipende da una coppia di interi coprimi . Gli spazi lenticolari sono 3-varietà particolarmente semplici, il cui gruppo fondamentale è un gruppo ciclico finito.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia l'ipersfera in . Identificando con , questa può essere definita come

Sia una coppia di interi coprimi, con . Sia la radice dell'unità

Anche l'elemento è una radice primitiva -esima dell'unità. Si consideri l'applicazione lineare

La mappa è un isomorfismo lineare su . Poiché , la preserva la norma dei vettori e quindi manda in sé. Letta su , è rappresentata da una matrice ortogonale . Si tratta quindi di una isometria di : in particolare, preserva e si restringe ad una isometria di

L'isometria genera un gruppo di isometrie

isomorfo al gruppo ciclico di ordine . Lo spazio lenticolare è lo spazio quoziente rispetto a questo gruppo di isometrie.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Varietà ellittica[modifica | modifica wikitesto]

Il gruppo di isometrie generato da agisce in modo libero e propriamente discontinuo. Il quoziente è quindi una varietà topologica compatta e la proiezione

è un rivestimento. Si tratta del rivestimento universale, poiché è semplicemente connessa.

Poiché la è una isometria, il quoziente eredita una struttura di varietà riemanniana. Come , questa ha curvatura sezionale ovunque pari a +1 ed è quindi un esempio di varietà ellittica.

Gruppo fondamentale[modifica | modifica wikitesto]

Il gruppo fondamentale di è isomorfo al gruppo ciclico .

Dipendenza dai parametri[modifica | modifica wikitesto]

Gli spazi e :

  • hanno lo stesso gruppo fondamentale se e solo se ;
  • sono isometrici se e solo se sono omeomorfi, e questo accade se e solo se e
  • sono omotopicamente equivalenti se e solo se e

Per quanto scritto, solitamente si suppone .

Tra gli spazi lenticolari vi sono quindi esempi di 3-varietà con lo stesso gruppo fondamentale ma non omotopicamente equivalenti, ad esempio

e varietà omotopicamente equivalenti ma non omeomorfe, ad esempio

Per si ottiene soltanto la varietà ; in questo caso la funzione è la mappa antipodale e quindi il quoziente è lo spazio proiettivo reale

Geometrizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Uno spazio lenticolare è sempre una 3-varietà irriducibile e prima.

Per la congettura di geometrizzazione di Thurston, dimostrata da Grigori Perelman, una 3-varietà compatta avente gruppo fondamentale ciclico finito è necessariamente uno spazio lenticolare.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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