3-varietà irriducibile

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In geometria, e più precisamente nella topologia della dimensione bassa, una 3-varietà irriducibile è una 3-varietà in cui ogni sfera borda una palla. Una 3-varietà che contiene una sfera non bordante una palla è invece detta riducibile: questa può essere effettivamente "ridotta" ad una varietà più semplice tramite l'operazione inversa della somma connessa.

Una 3-varietà è prima se non è ottenuta come somma connessa non banale di due varietà. I concetti di irriducibile e prima sono equivalenti per tutte le 3-varietà, con due sole eccezioni. L'ipotesi di irriducibilità è però più facile da esprimere e da gestire in molti casi, ed è quindi quella usata più spesso.

Definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Varietà irriducibile[modifica | modifica wikitesto]

Una 3-varietà è irriducibile se ogni sfera liscia borda una palla. Più rigorosamente, una 3-varietà differenziabile connessa è irriducibile se ogni sottovarietà differenziabile omeomorfa ad una sfera è bordo di un sottoinsieme omeomorfo alla palla chiusa

L'ipotesi di differenziabilità per non è importante, perché ogni 3-varietà topologica ha un'unica struttura differenziabile. L'ipotesi che la sfera sia liscia (cioè che sia una sottovarietà differenziabile) è invece importante: la sfera deve avere infatti un intorno tubolare.

Una 3-varietà non irriducibile è riducibile.

Varietà prima[modifica | modifica wikitesto]

Una 3-varietà connessa è prima se non è ottenibile come somma connessa

di due varietà entrambe distinte da (o, analogamente, entrambe distinte da ).

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Spazio euclideo[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio euclideo tridimensionale è irriducibile: ogni sfera liscia nello spazio borda effettivamente una palla.

D'altra parte, la sfera di Alexander è una sfera in non liscia, che non borda una palla: l'ipotesi sulla liscezza della sfera è quindi necessaria.

Sfera, spazi lenticolari[modifica | modifica wikitesto]

La sfera è irriducibile. Lo spazio prodotto non è irriducibile: infatti la sfera (dove 'pt' è un qualsiasi punto di ) ha complementare connesso, e quindi non può essere bordo di una palla.

Uno spazio lenticolare con (distinto quindi da ) è irriducibile.

Varietà prime e irriducibili[modifica | modifica wikitesto]

Una 3-varietà è irriducibile se e solo se è prima, tranne in due casi: il prodotto ed il fibrato non orientabile di sfere su sono entrambe prime ma non irriducibili.

Da irriducibile a prima[modifica | modifica wikitesto]

Una varietà irriducibile è effettivamente prima. Infatti, se

la è ottenuta rimuovendo due palle da e , e quindi incollando le due sfere di bordo risultanti. Queste due sfere incollate formano una sfera in . Per ipotesi, deve bordare una palla. Ripercorrendo l'operazione di somma connessa a ritroso, oppure è ottenuta incollando due palle chiusa per il bordo. Questa operazione porta però soltanto ad : quindi uno dei due fattori è in realtà banale, e la varietà è prima.

Da prima a irriducibile[modifica | modifica wikitesto]

Sia una varietà prima. Sia una sfera in essa contenuta. Tagliando lungo si può ottenere una sola varietà oppure due varietà e . Nel secondo caso, incollando due palle chiuse nei due nuovi bordi sferici si ottengono due varietà e tali che

Poiché è prima, una delle due, ad esempio , è . Quindi è meno una palla: è quindi anch'esso una palla. La sfera quindi borda una palla: la varietà è quindi irriducibile.

Resta da considerare il caso in cui tagliando lungo si ottiene un pezzo solo . Esiste quindi una curva semplice chiusa in intersecante in un punto solo. Sia l'unione di due intorni tubolari di e . Il bordo risulta essere una sfera: questa deve bordare una palla. La varietà risultante è quindi pressoché determinata, ed una analisi attenta porta a verificare che si tratta di oppure dell'altro fibrato non orientabile.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica