Somma connessa

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La somma connessa è un'operazione eseguita in matematica, e più precisamente in geometria, per creare una nuova varietà a partire da due varietà date. Le varietà date sono topologiche o differenziabili.

In modo analogo è definita anche la somma connessa fra nodi, un'operazione che costruisce un nodo a partire da due nodi dati.

A dispetto del nome scelto, le operazioni di somma connessa hanno spesso delle analogie con l'operazione di moltiplicazione fra numeri interi. In particolare, per le varietà di dimensione 2 e 3, e per i nodi, vi sono dei teoremi che, analogamente a quanto enunciato nel teorema fondamentale dell'aritmetica, sostengono che ogni varietà/nodo si ottiene in modo unico come somma connessa di alcune varietà indecomponibili, chiamate prime in analogia con i numeri primi. Non esistono però teoremi di questo tipo in dimensione 4 o superiore.

Somma connessa fra varietà[modifica | modifica sorgente]

La somma connessa di due superfici: si rimuovono le parti interne di due dischi, e si incollano le due circonferenze rimanenti. Il risultato di questa operazione è una nuova superficie.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Siano  M e  N due varietà topologiche della stessa dimensione  n . Siano B_M e  B_N due aperti rispettivamente in  M e  N , le cui chiusure sono entrambe omeomorfe al disco chiuso n-dimensionale

 D^n = \{x\in\R^n\ |\ |x|\leqslant 1\}.

Quindi  B_M e B_N sono entrambe omeomorfe alla palla aperta

 B^n = \{x\in\R^n\ |\ |x|< 1\}

ed il loro bordo è omeomorfo alla sfera (n-1)-dimensionale

 S^{n-1} = \{x\in\R^n\ |\ |x| = 1\}.

Sia quindi \psi un fissato omeomorfismo

\psi:\partial B_N \to \partial B_M.

La somma connessa di  M e  N è quindi definita come lo spazio che si ottiene rimuovendo le due palle aperte da  M e  N ed incollando successivamente i nuovi bordi sferici tramite la mappa \psi . Questo nuovo spazio viene indicato con M#N ed è anch'esso una varietà n-dimensionale. Formalmente:

M\#N = (M\setminus B_M)\cup (N\setminus B_N)_{/_\sim}

dove \sim è la relazione di equivalenza che identifica ogni  x in \partial B_M con l'immagine \psi(x) in  B_N .

Dipendenza dalle scelte fatte[modifica | modifica sorgente]

La varietà ottenuta M#N dipende dalla scelta degli aperti  B_M, B_N e dall'omeomorfismo \psi . Se però le varietà M,N sono differenziabili, e ogni omeomorfismo nella definizione è in verità un diffeomorfismo, la scelta degli aperti non influisce nel risultato.

D'altro canto, se l'omeomorfismo \psi è sostituito con un altro omeomorfismo \psi' omotopo a \psi il risultato non cambia. A meno di omotopia, vi sono solo 2 omeomorfismi di  S^{n-1} in sé: quello che mantiene l'orientazione della sfera e quello che la inverte. Quindi ci sono solo due possibili risultati.

Quindi se le varietà sono differenziabili la somma connessa M#N dipende soltanto dall'orientazione della mappa d'incollamento \psi . In alcuni casi (ad esempio, per le superfici), anche l'orientazione della mappa è ininfluente.

Per molte varietà di dimensione maggiore l'orientazione della mappa è però determinante, e generalmente si adotta un piccolo "trucco" per eliminare anche quest'ultimo fattore di arbitrarietà. Innanzitutto, questo può essere presente solo se entrambe  M e  N sono orientabili. Al fine di scegliere a priori uno dei due incollamenti, in questo caso si suppone che Me  N siano orientate: l'orientazione delle varietà induce un'orientazione nelle sfere che andranno identificate, e nell'operazione si decide di incollare queste tramite una mappa che inverta l'orientazione, in modo da ottenere una nuova varietà orientata  M #N in modo concorde alle orientazioni precedenti.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

La somma connessa per varietà differenziabili si comporta in modo simile alla moltiplicazione fra numeri interi, e questa similitudine è più marcata nelle dimensioni 2 e 3.

Dimensione qualsiasi[modifica | modifica sorgente]

In qualsiasi dimensione  n , l'operazione di somma connessa è commutativa e associativa. Inoltre la sfera  S^n è un elemento neutro per l'operazione #:

 M\#S^n = S^n\#M = M.

Infatti effettuare una somma connessa con una sfera equivale a togliere un aperto omeomorfo ad una palla, e reinserirne un altro, lasciando quindi invariata la varietà.

Dimensioni 2 e 3[modifica | modifica sorgente]

In dimensione 2 e 3 l'analogia con i numeri interi si spinge oltre: esiste infatti un analogo del teorema fondamentale dell'aritmetica, che asserisce che ogni numero intero si fattorizza in modo unico come prodotto di numeri primi. Una varietà differenziabile  M è prima se non è ottenibile come somma connessa

 M= N\# N'

dove entrambi i fattori  N e  N' sono diversi da  S^n. La classificazione delle superfici e il teorema di Kneser-Milnor sostengono rispettivamente che ogni 2- o 3-varietà  M orientabile compatta è ottenibile in modo unico come prodotto di varietà prime:

 M = N_1\#N_2\#\ldots \#M_k.

In dimensione 2, le varietà prime orientabili e compatte sono la sfera ed il toro. In dimensione 3, le 3-varietà prime sono infinite e non sono ancora state classificate in modo soddisfacente. Non esiste un teorema analogo per le varietà di dimensione 4 o superiore.

Somma connessa al bordo[modifica | modifica sorgente]

Il corpo con manici di genere due è la somma connessa al bordo di due tori solidi.

Esiste una versione di somma connessa al bordo per varietà con bordo M e M' della stessa dimensione n. Consiste nello scegliere due dischi (n-1)-dimensionali

D\subset \partial M, \quad D'\subset\partial M'

e nell'incollarli tramite un omeomorfismo f:D\to D'.

Il risultato è una nuova varietà con bordo, che dipende soltanto dalle componenti connesse di \partial M e \partial M' contenenti i dischi. Ad esempio, un corpo con manici è ottenuto tramite somma connessa al bordo di più tori solidi.

Somma connessa fra nodi[modifica | modifica sorgente]

Si disegnano due diagrammi dei nodi.
Si sceglie un "nastro" che colleghi i due nodi.
Si modifica la figura lungo il nastro, creando un unico nodo.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

La somma connessa fra nodi è un'operazione analoga, che presenta alcune analogie con la somma connessa fra varietà. Consiste nella costruzione di un nodo a partire da due nodi dati, come mostrato nell'esempio in figura.

Come per le varietà, questa operazione non dipende dal tipo di diagramma scelto per rappresentare i nodi, né dalla "striscia" scelta su cui operare la somma connessa. La somma connessa di due nodi  K e  H si indica con  K # H.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

L'operazione di somma connessa è commutativa e associativa. Il nodo banale  O è l'elemento neutro dell'operazione, ovvero

 O\#K = K\#O = K

per ogni altro nodo  K . Come per le 2- e 3-varietà, esiste un Teorema di fattorizzazione in nodi primi. Un nodo  K è primo se non è ottenibile come somma connessa

 K = K'\#K''

di due nodi non banali. Il teorema di fattorizzazione asserisce che ogni nodo  K è ottenibile in modo unico come somma connessa di numeri primi

 K = K_1\#\ldots K_h.

Come i numeri primi, i nodi primi sono quindi i "mattoni" della teoria dei nodi, ed è a loro che è rivolta generalmente maggiore attenzione.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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