Somma connessa

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La somma connessa è un'operazione eseguita in matematica, e più precisamente in geometria, per creare una nuova varietà a partire da due varietà date. Le varietà date sono topologiche o differenziabili.

In modo analogo è definita anche la somma connessa fra nodi, un'operazione che costruisce un nodo a partire da due nodi dati.

A dispetto del nome scelto, le operazioni di somma connessa hanno spesso delle analogie con l'operazione di moltiplicazione fra numeri interi. In particolare, per le varietà di dimensione 2 e 3, e per i nodi, vi sono dei teoremi che, analogamente a quanto enunciato nel teorema fondamentale dell'aritmetica, sostengono che ogni varietà/nodo si ottiene in modo unico come somma connessa di alcune varietà indecomponibili, chiamate prime in analogia con i numeri primi. Non esistono però teoremi di questo tipo in dimensione 4 o superiore.

Somma connessa fra varietà[modifica | modifica wikitesto]

La somma connessa di due superfici: si rimuovono le parti interne di due dischi, e si incollano le due circonferenze rimanenti. Il risultato di questa operazione è una nuova superficie.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due varietà topologiche della stessa dimensione . Siano e due aperti rispettivamente in e , le cui chiusure sono entrambe omeomorfe al disco chiuso -dimensionale

Quindi e sono entrambe omeomorfe alla palla aperta

ed il loro bordo è omeomorfo alla sfera -dimensionale

Sia quindi un fissato omeomorfismo

La somma connessa di e è quindi definita come lo spazio che si ottiene rimuovendo le due palle aperte da e ed incollando successivamente i nuovi bordi sferici tramite la mappa . Questo nuovo spazio viene indicato con # ed è anch'esso una varietà -dimensionale. Formalmente:

dove è la relazione di equivalenza che identifica ogni in con l'immagine in .

Dipendenza dalle scelte fatte[modifica | modifica wikitesto]

La varietà ottenuta # dipende dalla scelta degli aperti e dall'omeomorfismo . Se però le varietà sono differenziabili, e ogni omeomorfismo nella definizione è in verità un diffeomorfismo, la scelta degli aperti non influisce nel risultato.

D'altro canto, se l'omeomorfismo è sostituito con un altro omeomorfismo omotopo a il risultato non cambia. A meno di omotopia, vi sono solo 2 omeomorfismi di in sé: quello che mantiene l'orientazione della sfera e quello che la inverte. Quindi ci sono solo due possibili risultati.

Quindi se le varietà sono differenziabili la somma connessa # dipende soltanto dall'orientazione della mappa d'incollamento . In alcuni casi (ad esempio, per le superfici), anche l'orientazione della mappa è ininfluente.

Per molte varietà di dimensione maggiore l'orientazione della mappa è però determinante, e generalmente si adotta un piccolo "trucco" per eliminare anche quest'ultimo fattore di arbitrarietà. Innanzitutto, questo può essere presente solo se entrambe e sono orientabili. Al fine di scegliere a priori uno dei due incollamenti, in questo caso si suppone che e siano orientate: l'orientazione delle varietà induce un'orientazione nelle sfere che andranno identificate, e nell'operazione si decide di incollare queste tramite una mappa che inverta l'orientazione, in modo da ottenere una nuova varietà orientata # in modo concorde alle orientazioni precedenti.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La somma connessa per varietà differenziabili si comporta in modo simile alla moltiplicazione fra numeri interi, e questa similitudine è più marcata nelle dimensioni 2 e 3.

Dimensione qualsiasi[modifica | modifica wikitesto]

In qualsiasi dimensione , l'operazione di somma connessa è commutativa e associativa. Inoltre la sfera è un elemento neutro per l'operazione #:

Infatti effettuare una somma connessa con una sfera equivale a togliere un aperto omeomorfo ad una palla, e reinserirne un altro, lasciando quindi invariata la varietà.

Dimensioni 2 e 3[modifica | modifica wikitesto]

In dimensione 2 e 3 l'analogia con i numeri interi si spinge oltre: esiste infatti un analogo del teorema fondamentale dell'aritmetica, che asserisce che ogni numero intero si fattorizza in modo unico come prodotto di numeri primi. Una varietà differenziabile è prima se non è ottenibile come somma connessa

dove entrambi i fattori e sono diversi da . La classificazione delle superfici e il teorema di Kneser-Milnor sostengono rispettivamente che ogni 2- o 3-varietà orientabile compatta è ottenibile in modo unico come prodotto di varietà prime:

In dimensione 2, le varietà prime orientabili e compatte sono la sfera ed il toro. In dimensione 3, le 3-varietà prime sono infinite e non sono ancora state classificate in modo soddisfacente. Non esiste un teorema analogo per le varietà di dimensione 4 o superiore.

Somma connessa al bordo[modifica | modifica wikitesto]

Il corpo con manici di genere due è la somma connessa al bordo di due tori solidi.

Esiste una versione di somma connessa al bordo per varietà con bordo e della stessa dimensione . Consiste nello scegliere due dischi -dimensionali

e nell'incollarli tramite un omeomorfismo .

Il risultato è una nuova varietà con bordo, che dipende soltanto dalle componenti connesse di e contenenti i dischi. Ad esempio, un corpo con manici è ottenuto tramite somma connessa al bordo di più tori solidi.

Somma connessa fra nodi[modifica | modifica wikitesto]

Si disegnano due diagrammi dei nodi.
Si sceglie un "nastro" che colleghi i due nodi.
Si modifica la figura lungo il nastro, creando un unico nodo.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La somma connessa fra nodi è un'operazione analoga, che presenta alcune analogie con la somma connessa fra varietà. Consiste nella costruzione di un nodo a partire da due nodi dati, come mostrato nell'esempio in figura.

Come per le varietà, questa operazione non dipende dal tipo di diagramma scelto per rappresentare i nodi, né dalla "striscia" scelta su cui operare la somma connessa. La somma connessa di due nodi e si indica con #.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

L'operazione di somma connessa è commutativa e associativa. Il nodo banale è l'elemento neutro dell'operazione, ovvero

per ogni altro nodo . Come per le 2- e 3-varietà, esiste un Teorema di fattorizzazione in nodi primi. Un nodo è primo se non è ottenibile come somma connessa

di due nodi non banali. Il teorema di fattorizzazione asserisce che ogni nodo è ottenibile in modo unico come somma connessa di numeri primi

Come i numeri primi, i nodi primi sono quindi i "mattoni" della teoria dei nodi, ed è a loro che è rivolta generalmente maggiore attenzione.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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