Teorema di Kneser-Milnor

In matematica, e più precisamente in topologia, il teorema di Kneser-Milnor è un teorema centrale nello studio delle 3-varietà. L'enunciato è analogo al teorema fondamentale dell'aritmetica, con "numero intero" e "prodotto" sostituiti da "3-varietà" e "somma connessa". La dimostrazione è dovuta ai matematici Hellmuth Kneser e John Milnor.

Enunciato

Il teorema di Kneser-Milnor asserisce il fatto seguente.

Ogni 3-varietà compatta orientabile $M$ diversa dalla sfera $S^{3}$ può essere ottenuta come somma connessa di 3-varietà prime $N_{1},\ldots ,N_{k}$ diverse da $S^{3}$:

$M=N_{1}\#\ldots \#N_{k}.$

Le $k$ varietà prime $N_{i}$ sono inoltre univocamente determinate da $M$.

L'enunciato ha la stessa forma del teorema fondamentale dell'aritmetica. La sfera $S^{3}$ gioca il ruolo del numero 1 per gli interi, cioè dell'elemento neutro rispetto all'operazione di somma connessa.

Dimostrazione

L'esistenza di una decomposizione in fattori primi è dovuta a Hellmuth Kneser, che la dimostrò negli anni trenta introducendo uno strumento che è stato successivamente ampiamente usato per le 3-varietà: le superfici normali.

L'unicità è stata quindi dimostrata da John Milnor nel dopoguerra.

Voci correlate

• Somma connessa
• 3-varietà irriducibile