Taglio (topologia)

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Nella branca della geometria dedicata alla topologia, è operazione comune tagliare e incollare alcuni spazi topologici per crearne di nuovi. Questa operazione è particolarmente utile nel caso in cui gli spazi topologici siano delle varietà. Si tratta quindi di una operazione usata comunemente in topologia differenziale e nella topologia della dimensione bassa.

Tagliare[modifica | modifica wikitesto]

L'operazione di taglio è definita soprattutto nell'ambito della topologia differenziale e quindi delle varietà differenziabili.

Varietà[modifica | modifica wikitesto]

Sia una varietà differenziabile e una sua sottovarietà differenziabile compatta, di codimensione 1 (cioè ). Entrambe le varietà possono avere bordo: si richiede però che sia propriamente immersa, cioè che

Per il teorema dell'intorno tubolare, esiste un intorno tubolare aperto di . L'operazione di taglio lungo consiste nella rimozione di da . In altre parole, lo spazio ottenuto tagliando lungo è lo spazio

Lo spazio è una nuova varietà differenziabile con bordo. Non dipende dalla scelta di (poiché l'intorno tubolare è unico a meno di isotopia ambiente).

Orientabilità[modifica | modifica wikitesto]

Si considera il caso in cui non ha bordo, ed è quindi interamente contenuta nell'interno di .

Se e sono entrambe orientabili, l'intorno tubolare è un prodotto . Il bordo della nuova varietà ha quindi due componenti in più di , entrambe diffeomorfe a .

Tagliando un nastro di Möbius lungo il cuore, si ottiene un anello.

Senza queste ipotesi di orientabilità, può non essere un prodotto: in questo caso, il "taglio" non separa effettivamente l'intorno in due pezzi distinti, ma in un pezzo solo, e quindi ha una sola componente in più di . Questo è il caso ad esempio se viene tagliato il cuore del nastro di Möbius: il risultato è un anello, il cui bordo ha 2 componenti, mentre il nastro di Möbius ne ha una sola.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Tagliando una sfera lungo l'equatore si ottengono due calotte (colorate qui in rosso e blu), ciascuna delle quali è diffeomorfa ad un disco.

Tagliando una sfera

lungo l'equatore

si ottengono due calotte sferiche, ciascuna delle quali è diffeomorfa al disco

Altri spazi[modifica | modifica wikitesto]

L'operazione di taglio in spazi topologici arbitrari è definita analogamente quando un sottospazio di uno spazio topologico ha una nozione di "intorno tubolare" simile a quella valida per le varietà differenziabili. Se e sono complessi simpliciali, questa nozione esiste e si chiama intorno regolare.

Incollare[modifica | modifica wikitesto]

Definizione generale[modifica | modifica wikitesto]

L'operazione di incollamento in topologia è più generale. Si applica in presenza di due spazi topologici qualsiasi e , contenenti due sottospazi e , collegati da un omeomorfismo

In questo caso, lo spazio ottenuto incollando e lungo è lo spazio quoziente

dove è la relazione di equivalenza sull'unione disgiunta di e indotta da che identifica e . Più precisamente,

Varietà[modifica | modifica wikitesto]

Se e sono due varietà con bordo e gli insiemi e sono due sottovarietà compatte (con o senza bordo) contenute rispettivamente in e , il risultato dell'incollamento è nuovamente una varietà con bordo. Nel caso in cui le varietà iniziali e la mappa siano differenziabili, lo sarà anche .

Se è ottenuta da tagliando lungo una ipersuperficie con intorno tubolare prodotto, questa ha due componenti di bordo in più. Incollando queste due componenti di bordo opportunamente, si ottiene nuovamente .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Incollando due dischi (cioè due varietà omeomorfe a ) si ottiene sempre una sfera (cioè una varietà omeomorfa a ), a prescindere dalla scelta della .

La somma connessa è una operazione tra varietà della stessa dimensione, che consiste di due fasi: nella prima si rimuovono delle palle aperte, e quindi si incollano le due nuove sfere di bordo.

In dimensione 3, la chirurgia di Dehn consiste nel tagliare e reincollare lungo tori. In questo caso, il risultato dipende dalla scelta della funzione di incollamento, ma è sufficiente fissare un numero razionale per determinare la varietà risultante.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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