Spazio topologico noetheriano

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In matematica, uno spazio topologico noetheriano è uno spazio topologico i cui aperti soddisfano la condizione della catena ascendente; equivalentemente, è uno spazio tale che tutti i suoi sottospazi siano compatti.

Il maggior uso di questi spazi avviene nell'algebra commutativa e nella geometria algebrica: infatti, lo spettro di un anello noetheriano è uno spazio topologico noetheriano e, di conseguenza, ogni varietà affine è uno spazio noetheriano.

Definizioni equivalenti e proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Uno spazio topologico è noetheriano se vale una delle seguenti proprietà:

  • gli aperti di soddisfano la condizione della catena ascendente;
  • i chiusi di soddisfano la condizione della catena discendente;
  • ogni famiglia non vuota di aperti di ha un elemento massimale;
  • ogni sottoinsieme di è compatto (con la topologia di sottospazio);
  • ogni sottoinsieme aperto di è compatto (con la topologia di sottospazio).

In particolare, ogni spazio topologico noetheriano è compatto. Al contrario, la noetherianità non si lega bene agli assiomi di separazione: infatti, uno spazio noetheriano è di Hausdorff se e solo se è finito. In particolare, nessuno spazio metrico non finito (come con la topologia euclidea) può essere noetheriano.

Inoltre, uno spazio noetheriano ha solo un numero finito di componenti irriducibili.

Relazione con l'algebra commutativa[modifica | modifica wikitesto]

Dato un anello commutativo unitario , gli aperti dello spettro di (con la topologia di Zariski) sono in corrispondenza biunivoca con gli ideali radicali di ; questo implica che è noetheriano se e solo se gli ideali radicali di verificano la condizione della catena ascendente. In particolare, questo è vero se è un anello noetheriano.

Poiché inoltre le componenti irriducibili di sono in corrispondenza biunivoca con i primi minimali di , questo implica che i primi minimali di un anello noetheriano sono in numero finito, e di conseguenza che i primi minimali su un ideale sono finiti. Questi risultati sono in genere le prime applicazioni della topologia di Zariski per indagare le proprietà algebriche degli anelli.

Dal momento che i punti di una varietà affine corrispondono agli ideali massimali del suo anello delle coordinate, e questo è un anello noetheriano, ne segue che ogni varietà affine (e, più in generale, ogni varietà quasiproiettiva) è uno spazio noetheriano; dunque ogni varietà algebrica ha un numero finito di componenti irriducibili. Più in generale, ogni schema noetheriano è uno spazio noetheriano.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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