Cono (topologia)

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Cono di una circonferenza. La circonferenza di partenza è blu, ed il punto collassato è verde.

In topologia, il cono di uno spazio topologico è un nuovo spazio topologico che, similmente all'usuale cono geometrico, ha un vertice ed una base omeomorfa a .

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio topologico. Il cono è lo spazio quoziente

del prodotto di con l'intervallo unitario rispetto alla relazione d'equivalenza che identifica tutti i punti del tipo .

Il cono è quindi costruito in due fasi: prima si costruisce un "cilindro" , e quindi si collassa una delle due basi del cilindro ad un punto.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Punti[modifica | modifica wikitesto]

Se è un insieme finito di punti con la topologia discreta, il cono è omeomorfo ad un grafo con vertici stellato in , cioè con uno spigolo che collega ad ogni .

Dischi e sfere[modifica | modifica wikitesto]

Valgono gli omeomorfismi seguenti:

Il cono su una sfera è quindi un disco, ed il cono su un disco è anch'esso un disco (l'usuale cono geometrico è infatti omeomorfo ad un disco).

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Un cono è sempre connesso per archi, anche se lo spazio di partenza non lo è. Infatti è sempre possibile congiungere due punti del cono passando dal vertice.

Un cono è sempre uno spazio contrattile. Ne segue che ogni spazio topologico è contenuto in uno spazio contrattile.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]