Diffeomorfismo di Anosov

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In matematica, più particolarmente nel campo dei sistemi dinamici e della topologia, una mappa di Anosov su una varietà M è un tipo di mappa, da M in sé, avente delle evidenti direzioni locali di "espansione" e "contrazione". I sistemi di Anosov sono casi speciali di sistemi di tipo Assioma A.

I diffeomorfismi di Anosov furono introdotti da Dmitri Anosov, che dimostrò che il loro comportamento era, in un particolare senso, generico (quando essi esistono)[1].

Panoramica[modifica | modifica wikitesto]

Si devono distinguere tre definizioni strettamente correlate:

  • Se la mappa è un diffeomorfismo, allora prende il nome di Diffeomorfismo di Anosov.
  • Se un flusso su una varietà suddivide il fibrato tangente in tre sottofibrati invarianti, di cui uno esponenzialmente contraente, uno esponenzialmente dilatante e un terzo che sia un sottofibrato monodimensionale non dilatante (attraversato dalla direzione del flusso), allora il flusso è detto di Anosov.

Un classico esempio di diffeomorfismo di Anosov è la mappa del gatto di Arnold.

Anosov dimostrò che il diffeomorfismo di Anosov è strutturamente stabile e forma un insieme aperto di mappe (flusso) con la topologia C1.

Non ogni varietà ammette un diffeomorfismo di Anosov; per esempio, non ci sono diffeomorismi di questo tipo sulla sfera. I più semplici esempi di varietà compatte che li ammettono sono i tori: essi ammettono i cosiddetti diffeomorfismi lineari di Anosov che sono isomorfismi che non hanno autovalori di modulo 1. È stato dimostrato che ogni altro diffeomorfismo di Anosov su un toro è topologicamente equivalente a questi ultimi.


Un altro problema aperto è capire se ogni diffeomorfismo di Anosov sia transitivo. Tutti i diffeomorfismi di Anosov noti, lo sono. Una condizione sufficiente per la transitività è la non ricorrenza: .

È noto altresì che ogni diffeomorfismo di Anosov che conserva il volume è ergodico. Anosov lo ha dimostrato nell'ipotesi . È vero anche per diffeomorfismi di Anosov che conservano il volume.

Per diffeomorfismi di Anosov transitivi esiste un'unica misura SRB (Sinai, Ruelle e Bowen) supportata su tale che il suo bacino sia di pieno volume dove

Flusso di Anosov su (fibrati tangenti di) superfici di Riemann[modifica | modifica wikitesto]

Come esempio, questa sezione sviluppa il caso del flusso di Anosov sul fibrato tangente di una superficie di Riemann a curvatura negativa. Questo flusso può essere pensato in termini di flusso sul fibrato tangente in un semispazio di Poincaré della geometria iperbolica. Le superfici di Riemann a curvatura negativa possono essere definite come modelli di Fuchs, cioè come quoziente del semipiano superiore (il sottoinsieme di tale che ) e del Gruppo di Fuchs.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ D. V. Anosov, Geodesic flows on closed Riemannian manifolds with negative curvature, (1967) Proc. Steklov Inst. Mathematics. 90.