Topologia degli interi equispaziati

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In topologia generale, una branca della matematica, la topologia degli interi equispaziati è la topologia sull'insieme dei numeri interi generata dalla famiglia delle progressioni aritmetiche.[1] Questa particolare topologia è stata introdotta da Fürstenberg nel 1955 per provare l'infinità dei numeri primi.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Per ogni coppia di interi poniamo , allora la topologia degli interi equispaziati è la topologia di che ha come base . In altri termini gli aperti di sono tutti e soli gli insiemi che sono unione di insiemi del tipo con interi e .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio topologico ha alcune interessanti proprietà:

  • L'insieme è chiuso-aperto per ogni interi con ; usando ciò si può dimostrare il teorema dell'infinità dei numeri primi, infatti detto l'insieme dei primi si ha


se per assurdo i primi fossero finiti allora il secondo membro sarebbe chiuso, quindi sarebbe aperto ma cioè non è possibile poiché chiaramente non è unione di insiemi del tipo con interi e , essendo un insieme finito.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Steen & Seebach 1995, pp. 80–81

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica