Compattificazione di Stone-Čech

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La compattificazione di Stone-Čech di uno spazio topologico è uno spazio topologico compatto (indicato con ) tale che ogni funzione continua da verso uno spazio topologico compatto può essere estesa ad una funzione definita su tutto . Generalmente, si assume che sia uno spazio di Tychonoff, perché solo in questo caso estende lo spazio di partenza . Fra le varie compattificazioni di uno spazio topologico, quella di Stone-Čech è la "più grande", contrapposta alla compattificazione di Alexandrov, ottenuta aggiungendo un punto solo.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La compattificazione di Stone-Čech di uno spazio topologico è uno spazio contenente con queste proprietà:

a valori in uno spazio compatto di Hausdorff esiste una funzione continua

che estende

L'ultima proprietà può essere descritta dicendo che è C*-immerso in .

Principali proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La compattificazione di Stone-Cech si può vedere come la "massima" compattificazione di uno spazio (mentre la compattificazione di Alexandrov è la più piccola), come indicano le seguenti proprietà:

  • è unica a meno di omeomorfismi;
  • è l'unico spazio compatto in cui è -immerso;
  • è il più grande spazio in cui è -immerso.

Formulazioni della compattificazione di Stone-Čech[modifica | modifica wikitesto]

È possibile formulare la compattificazione di Stone-Čech in diversi modi tra di loro equivalenti: ad esempio, le funzioni continue da all'intervallo chiuso costituiscono la compattificazione desiderata.

Un'altra possibile formulazione equivalente è la seguente: dato uno spazio topologico discreto, la compattificazione di Stone-Cech è formata da tutti gli ultrafiltri di X. La base della topologia di possiede come elementi tutti gli ultrafiltri che contengono un dato aperto :

, dove sono gli aperti della topologia di .

Nel caso di un generico spazio che sia Tychonoff, la compattificazione di Stone-Cech di si può ottenere usando gli insiemi massimali costituiti di zero-insiemi.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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