Teorema della categoria di Baire

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In matematica, il teorema della categoria di Baire è un importante strumento della topologia generale e dell'analisi funzionale. Il teorema è disponibile in due versioni, ciascuna delle quali fornisce una condizione sufficiente affinché uno spazio topologico sia uno spazio di Baire.

Si deve al matematico francese René-Louis Baire, che lo dimostrò nella sua tesi di laurea nel 1899, Sur les fonctions de variable réelles.

Enunciato del teorema[modifica | modifica wikitesto]

Vi sono due versioni del teorema. La prima riguarda gli spazi metrici:

TCB1 Ogni spazio metrico completo non vuoto è uno spazio di Baire. Più in generale, ogni sottoinsieme aperto di uno spazio pseudometrico completo è uno spazio di Baire.

La seconda riguarda i più generali spazi di Hausdorff:

TCB2 Ogni spazio di Hausdorff non vuoto e localmente compatto è uno spazio di Baire.

Nessuna delle due proposizioni implica l'altra poiché non necessariamente uno spazio metrico completo è localmente compatto così come uno spazio di Hausdorff localmente compatto non è necessariamente metrizzabile (un esempio è dato dallo spazio di Fort, non numerabile).

Un sottoinsieme di uno spazio metrico è mai denso se la sua chiusura ha parte interna vuota. Il teorema di Baire per gli spazi metrici può essere formulato nel modo seguente:

TCB3 Uno spazio metrico completo non può essere unione numerabile di insiemi mai densi.

La seguente versione è molto utilizzata come teorema di esistenza.

TCB4 In uno spazio metrico completo l'intersezione numerabile di aperti densi è densa.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si fornisce la dimostrazione del teorema nella forma TCB3. Sia uno spazio metrico completo e si supponga, per assurdo, che:

dove la chiusura ha parte interna vuota per ogni .

Si scelgano in ed tali che:

Ciò è possibile perché la chiusura di ha parte interna vuota. Indicando con la palla aperta in di centro e raggio , è possibile scegliere in e tali che:

ciò che è possibile perché la chiusura di ha parte interna vuota. Iterando il procedimento si costruiscono, quindi, due successioni, in e in tali che:

ne segue che, per ogni naturali con , risulta:

e, pertanto, la successione è di Cauchy e quindi convergente ad un certo in . D'altronde, non è in per ogni e, pertanto,

il che è assurdo, il che dimostra la tesi.

Relazione con l'assioma della scelta[modifica | modifica wikitesto]

Le dimostrazioni di entrambe le versioni richiedono una forma debole dell'assioma della scelta; infatti, la proposizione che ogni spazio pseudometrico completo è uno spazio di Baire è un'affermazione equivalente all'assioma della scelta dipendente (DC).[1]

Applicazioni del teorema[modifica | modifica wikitesto]

TCB1 è utilizzato nelle dimostrazioni del teorema della funzione aperta, del teorema del grafico chiuso e del principio dell'uniforme limitatezza.

TCB1 mostra inoltre che ogni spazio metrico completo privo di punti isolati è non numerabile (se è uno spazio metrico completo numerabile privo di punti isolati, allora ogni insieme formato da un punto in è mai denso e pertanto stesso è di prima categoria). In particolare, ciò mostra che l'insieme di tutti i numeri reali è non numerabile.

TCB1 mostra che ciascuno dei seguenti insiemi è uno spazio di Baire:

  • L'insieme dei numeri reali
  • L'insieme di Cantor
  • Ogni varietà (in quanto insiemi localmente compatti)
  • Ogni spazio topologico omeomorfo ad uno spazio di Baire (per esempio, l'insieme dei numeri irrazionali che non è completo rispetto alla metrica ereditata da )

Vi sono anche altre applicazioni importanti di TCB1.[2]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/excerpts/equivdc.gif
  2. ^ Applicazioni e relazioni con fenomeni simili sono riportate in Bwatabaire (il sito è quasi interamente in francese; alcune pagine sono in inglese).

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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