Teorema della funzione aperta (analisi funzionale)

In analisi funzionale, il teorema della funzione aperta o teorema dell'applicazione aperta, altrimenti noto come teorema di Banach-Schauder, stabilisce che un operatore lineare continuo suriettivo tra spazi di Banach è una funzione aperta.

Enunciato

Sia $T:X\to Y$ un operatore lineare continuo suriettivo tra spazi di Banach $X$ e $Y$. Allora $T$ è una funzione aperta, ovvero se $U$ è un insieme aperto in $X$, allora $T(U)$ è aperto in $Y$.

Dimostrazione

La dimostrazione fa uso del teorema della categoria di Baire, e si può suddividere in tre parti.

Parte 1

Occorre provare che per ogni $x\in X$ e per ogni $N\subseteq X$, intorno di $x$, $T(N)$ è un intorno di $Tx$. Per linearità risulta $T(x+A)=Tx+T(A)$ ($x\in X$, $A\subseteq X$), per cui è sufficiente provare l'affermazione per $x=0$. Poiché un intorno dello zero contiene necessariamente una palla $B_{r}=B(0,r)$, è sufficiente provare che per ogni $r>0$ esiste un $r^{\prime }>0$ tale che $B_{r^{\prime }}^{Y}\subseteq T(B_{r}^{X})$. Osserviamo inoltre che $B_{r}=rB_{1}$ ed anche, per linearità, che $T(B_{r}^{X})=rT(B_{1}^{X})$ per ogni $r>0$.

Per la suriettività di $T$ si ha:

$Y=\cup _{n=1}^{\infty }T(B_{n})=\cup _{n=1}^{\infty }{\overline {T(B_{n})}}$.

Per il teorema della categoria di Baire esiste ${\overline {n}}$ tale che:${\overline {T(B_{\overline {n}})}}$ ha interno non vuoto e pertanto, essendo:

${\overline {T(B_{\overline {n}})}}={\overline {n}}{\overline {T(B_{1})}}$

deduciamo che ${\overline {T(B_{1})}}$ ha interno non vuoto.

Parte 2

Sia $W$ un aperto di $Y$ tale che:

$W\subseteq {\overline {T(B_{1})}}$

Ovviamente ${\overline {T(B_{1})}}$ contiene lo zero, ma occorre provare che esiste $\varepsilon >0$ tale che:

$B_{\varepsilon }^{Y}\subseteq W$

Siano $x_{0}\in B_{1}$ e $y_{0}=Tx_{0}\in W$. Poiché l'applicazione $x\mapsto x-x_{0}$ è un omeomorfismo, esiste un intorno $V$ di zero in $Y$ tale che:

$V\subseteq -y_{0}+{\overline {T(B_{1})}}$

Si ha:

$-y_{0}+T(B_{1})=\left\{-y_{0}+Tw,w\in B_{1}\right\}=\left\{T(w-x_{0}),w\in B_{1}\right\}\subseteq T(B_{2})$

poiché $x_{0},w\in B_{1}$ implica che $w-x_{0}\in B_{2}$. Pertanto abbiamo provato che:

$V\subseteq -y_{0}+{\overline {T(B_{1})}}\subseteq {\overline {T(B_{2})}}$

e quindi:

${\tilde {V}}\doteq {\frac {1}{2}}V\subseteq {\overline {T(B_{1})}}$

e ${\tilde {V}}$ è un intorno di zero in $Y$. Pertanto esiste $\varepsilon >0$ tale che:

$B_{\varepsilon }^{Y}\subseteq {\overline {T(B_{1})}}$

Parte 3

Si vuole provare che ${\overline {T(B_{1})}}\subseteq T(B_{2})$, cosa che conclude la dimostrazione poiché ne segue che $B_{\frac {\varepsilon }{2}}^{Y}$ risulta contenuto in $T(B_{1})$. Sia $y\in {\overline {T(B_{1})}}$. Si scelga $x_{1}\in B_{1}^{X}$ tale che $\|y-Tx_{1}\|<{\frac {\varepsilon }{2}}$, cioè $y-Tx_{1}\in B_{\frac {\varepsilon }{2}}^{Y}$. Per quanto detto in precedenza risulta:

$B_{\frac {\varepsilon }{2}}^{Y}\subseteq {\overline {T(B_{\frac {1}{2}}^{X})}}$

quindi possiamo scegliere $x_{2}\in B_{\frac {1}{2}}^{X}$ tale che:

$\|y-Tx_{1}-Tx_{2}\|<{\frac {\varepsilon }{4}}$, cioè $y-Tx_{1}-Tx_{2}\in B_{\frac {\varepsilon }{4}}^{Y}$

Iterando il procedimento risulta definita una successione $(x_{n})$ in $X$ tale che:

$x_{n}\in B_{2^{1-n}}^{X}$ e $y-\sum _{j=1}^{n}Tx_{j}\in B_{\varepsilon 2^{1-n}}^{Y}$

Risulta:

$\left\|\sum _{j=n}^{n+p}\right\|<2^{1-n}\ \ \forall n,p\in {\textbf {N}}$

quindi esiste:

$x=\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}$

e si ha:

$\|x\|\leq \sum _{j=1}^{\infty }\|x_{j}\|<\sum _{j=1}^{\infty }2^{1-j}=2$

Quindi $x\in B_{2}$ e, per la continuità di $T$, risulta $Tx=y$. Da ciò segue che

${\overline {T(B_{1})}}\ni y=Tx\in T(B_{2})$

ed il teorema è provato.

Corollari

Il teorema della funzione aperta ha due importanti conseguenze:

• Il teorema della funzione inversa afferma che se $T:X\to Y$ è un operatore lineare continuo e bigettivo tra gli spazi di Banach $X$ e $Y$, allora l'operatore inverso $T^{-1}:Y\to X$ è anch'esso continuo.
• Il teorema del grafico chiuso afferma che se $T:X\to Y$ è un operatore lineare tra gli spazi di Banach $X$ e $Y$, e se per ogni successione $x_{n}$ in $X$ tale che $x_{n}\to 0$ e $Tx_{n}\to y$ segue che $y=0$, allora $T$ è continuo.

Bibliografia

• (EN) Krantz, S. G. "The Open Mapping Theorem." §5.2.1 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 73-74, 1999.
• (EN) Zeidler, E. Applied Functional Analysis: Applications to Mathematical Physics. New York: Springer-Verlag, 1995.
• (EN) M. de Wilde, Closed graph theorems and webbed spaces , Pitman (1978)
• (EN) H.H. Schaefer, Topological vector spaces , Springer (1971)
• (EN) H. Jarchow, Locally convex spaces , Teubner (1981)

Voci correlate

• Funzione aperta
• Operatore lineare continuo
• Teorema del grafico chiuso
• Teorema della categoria di Baire
• Teorema della funzione aperta (analisi complessa)