Teorema della funzione aperta (analisi funzionale)

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In analisi funzionale, il teorema della funzione aperta o teorema dell'applicazione aperta, altrimenti noto come teorema di Banach-Schauder, stabilisce che un operatore lineare continuo suriettivo tra spazi di Banach è una funzione aperta.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia un operatore lineare continuo suriettivo tra spazi di Banach e . Allora è una funzione aperta, ovvero se è un insieme aperto in , allora è aperto in .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione fa uso del teorema della categoria di Baire, e si può suddividere in tre parti.

Parte 1[modifica | modifica wikitesto]

Occorre provare che per ogni e per ogni , intorno di , è un intorno di . Per linearità risulta (, ), per cui è sufficiente provare l'affermazione per . Poiché un intorno dello zero contiene necessariamente una palla , è sufficiente provare che per ogni esiste un tale che . Osserviamo inoltre che ed anche, per linearità, che per ogni .

Per la suriettività di si ha:

.

Per il teorema della categoria di Baire esiste tale che: ha interno non vuoto e pertanto, essendo:

deduciamo che ha interno non vuoto.

Parte 2[modifica | modifica wikitesto]

Sia un aperto di tale che:

Ovviamente contiene lo zero, ma occorre provare che esiste tale che:

Siano e . Poiché l'applicazione è un omeomorfismo, esiste un intorno di zero in tale che:

Si ha:

poiché implica che . Pertanto abbiamo provato che:

e quindi:

e è un intorno di zero in . Pertanto esiste tale che:

Parte 3[modifica | modifica wikitesto]

Si vuole provare che , cosa che conclude la dimostrazione poiché ne segue che risulta contenuto in . Sia . Si scelga tale che , cioè . Per quanto detto in precedenza risulta:

quindi possiamo scegliere tale che:

, cioè

Iterando il procedimento risulta definita una successione in tale che:

e

Risulta:

quindi esiste:

e si ha:

Quindi e, per la continuità di , risulta . Da ciò segue che

ed il teorema è provato.

Corollari[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema della funzione inversa e Teorema del grafico chiuso.

Il teorema della funzione aperta ha due importanti conseguenze:

  • Il teorema della funzione inversa afferma che se è un operatore lineare continuo e bigettivo tra gli spazi di Banach e , allora l'operatore inverso è anch'esso continuo.
  • Il teorema del grafico chiuso afferma che se è un operatore lineare tra gli spazi di Banach e , e se per ogni successione in tale che e segue che , allora è continuo.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Krantz, S. G. "The Open Mapping Theorem." §5.2.1 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 73-74, 1999.
  • (EN) Zeidler, E. Applied Functional Analysis: Applications to Mathematical Physics. New York: Springer-Verlag, 1995.
  • (EN) M. de Wilde, Closed graph theorems and webbed spaces , Pitman (1978)
  • (EN) H.H. Schaefer, Topological vector spaces , Springer (1971)
  • (EN) H. Jarchow, Locally convex spaces , Teubner (1981)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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