Chirurgia di Dehn

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In matematica, e più precisamente nella topologia della dimensione bassa, la chirurgia di Dehn è una operazione che permette la trasformazione di una 3-varietà in un'altra 3-varietà. La trasformazione consiste nella rimozione di un toro solido dal suo interno, e nel suo successivo reincollamento, con una mappa che può essere diversa da quella originaria.

La seconda operazione (di reincollamento) può essere effettuata autonomamente e ha il nome di riempimento di Dehn.

Definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Riempimento di Dehn[modifica | modifica wikitesto]

Sia una 3-varietà con bordo, il cui bordo contiene un toro . Un riempimento di Dehn è l'operazione di incollamento di e di un toro solido lungo i bordi e .

Più precisamente, l'incollamento è determinato da un omeomorfismo

fra i due tori. Questo determina lo spazio quoziente

dove è la relazione di equivalenza indotta da , che identifica ogni punto di con il punto di . Lo spazio quoziente risulta essere una 3-varietà.

Chirurgia di Dehn[modifica | modifica wikitesto]

La chirurgia di Dehn è una operazione che consta di due passaggi. Sia una 3-varietà orientabile e un nodo contenuto nell'interno di . Il primo passaggio consiste nella rimozione di un piccolo intorno tubolare aperto del nodo da . Poiché è orientabile, l'intorno tubolare è omeomorfo ad un toro solido, e la varietà risultante dalla rimozione ha una nuova componente di bordo , data dal bordo di questo toro solido, omeomorfa ad un toro.

La seconda operazione consiste in un riempimento di Dehn della nuova componente di bordo . Entrambe le operazioni possono essere sintetizzate dicendo che un toro solido viene rimosso da , e quindi reincollato. Poiché il modo in cui viene reincollato dipende fortemente dalla scelta della mappa , la varietà che ne risulta può essere molto differente da quella iniziale.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Anatolij Fomenko, Sergej Matveev, Algorithmic and computer methods for three-manifolds, Dordrecht (Paesi Bassi), Kluwer, 1997.
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