Assiomi di chiusura di Kuratowski

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In topologia e nella branche matematiche ad essa collegate gli assiomi di chiusura di Kuratowski sono un gruppo di assiomi che possono essere utilizzati per definire una struttura topologica su un insieme. Sono equivalenti alla più comune definizione basata sugli insiemi aperti. Furono introdotti per la prima volta da Kazimierz Kuratowski, in una forma lievemente differente applicabile esclusivamente agli spazi di Hausdorff.

Un gruppo simile di assiomi può essere utilizzato per definire una struttura topologica sfruttando esclusivamente la nozione duale di operatore interno.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Uno spazio topologico è un insieme a cui è associata una funzione:

chiamata operatore di chiusura dove è l'insieme delle parti di .

L'operatore di chiusura deve soddisfare le seguenti proprietà per tutti gli

  1. (Estensività)
  2. (Idempotenza)
  3. (Conservazione dell'unione binaria)
  4. (Conservazione delle unioni nulle)

Se il secondo assioma, quello dell'idempotenza, è rilassato (ossia al posto di ), allora risulta definito da questo gruppo di assiomi un operatore di prechiusura.

Collegamenti con la topologia classica[modifica | modifica wikitesto]

Induzione di una topologia[modifica | modifica wikitesto]

Un punto è detto chiuso rispetto ad in se

Definendo un operatore di chiusura su risulta naturalmente indotta una topologia (un insieme contenente tutti gli insiemi aperti) su . Un insieme è detto aperto se e solo se e poniamo . La coppia soddisfa gli assiomi di definizione di uno spazio topologico:

L'insieme vuoto e l'insieme sono aperti:

Per l'estensività e poiché sappiamo che , pertanto . Dalla conservazione delle unioni nulle segue analogamente che .

L'unione arbitraria di insieme aperti è un aperto:

Sia una collezione di indici e consideriamo l'unione degli dove è aperto per ogni . Per le leggi di De Morgan si ha

quindi
.

Per la conservazione delle unioni binarie:

.

Quindi Per l'estensività segue che .

Pertanto, A è un aperto.

L'intersezione di un numero finito di insiemi aperti è un aperto:

Sia una collezione finita di indici e siano gli aperti .

Dalla conservazione delle unioni nulle segue per induzione che:

è aperto.

Richiami alle definizioni topologiche[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione tra due insieme topologici

è detta continua se per ogni sottoinsieme di

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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