Assiomi di chiusura di Kuratowski

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In topologia e nella branche matematiche ad essa collegate gli assiomi di chiusura di Kuratowski sono un gruppo di assiomi che possono essere utilizzati per definire una struttura topologica su un insieme. Sono equivalenti alla più comune definizione basata sugli insiemi aperti. Furono introdotti per la prima volta da Kazimierz Kuratowski, in una forma lievemente differente applicabile esclusivamente agli spazi di Hausdorff.

Un gruppo simile di assiomi può essere utilizzato per definire una struttura topologica sfruttando esclusivamente la nozione duale di operatore interno.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Uno spazio topologico (X,\operatorname{cl}) è un insieme X a cui è associata una funzione:

\operatorname{cl}:\mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)

chiamata operatore di chiusura dove \mathcal{P}(X) è l'insieme delle parti di X.

L'operatore di chiusura deve soddisfare le seguenti proprietà per tutti gli A, B\in\mathcal{P}(X)

  1.  A \subseteq \operatorname{cl}(A) \! (Estensività)
  2.  \operatorname{cl}(\operatorname{cl}(A)) = \operatorname{cl}(A) \! (Idempotenza)
  3.  \operatorname{cl}(A \cup B) = \operatorname{cl}(A) \cup \operatorname{cl}(B) \! (Conservazione dell'unione binaria)
  4.  \operatorname{cl}(\varnothing) = \varnothing \! (Conservazione delle unioni nulle)

Se il secondo assioma, quello dell'idempotenza, è rilassato (ossia \subseteq al posto di =), allora risulta definito da questo gruppo di assiomi un operatore di prechiusura.

Collegamenti con la topologia classica[modifica | modifica sorgente]

Induzione di una topologia[modifica | modifica sorgente]

Un punto p è detto chiuso rispetto ad A in (X,\operatorname{cl}) se p\in \operatorname{cl}(A)

Definendo un operatore di chiusura su \mathcal{P}(X) risulta naturalmente indotta una topologia (un insieme contente tutti gli insiemi aperti) su X. Un insieme  O \subset X è detto aperto se e solo se  \operatorname{cl}(X \setminus    O) = X \setminus    O e poniamo   \tau := \{O | O \; \text{aperto} \}. La coppia (X,\tau) soddisfa gli assiomi di definizione di uno spazio topologico:

L'insieme vuoto e l'insieme X sono aperti:   \emptyset, X \in \tau

Per l'estensività  X \subset \operatorname{cl}(X) e poiché  \operatorname{cl} \rightarrow \mathcal{P}(X) sappiamo che  \operatorname{cl}(X) \subset X , pertanto  \operatorname{cl}(X) = X \Rightarrow \operatorname{cl}(X \setminus    \emptyset) = X \setminus    \emptyset  \Leftrightarrow \emptyset \in \tau. Dalla conservazione delle unioni nulle segue analogamente che  X \in \tau .

L'unione arbitraria di insieme aperti è un aperto:

Sia  \mathcal{I} una collezione di indici e consideriamo l'unione degli  A_i dove  A_i è aperto per ogni  i \in \mathcal{I} . Per le leggi di De Morgan si ha

 A := \bigcup\limits_{i \in \mathcal{I}} A_i  = X \setminus    \bigcap\limits_{i \in \mathcal{I}} X \setminus A_i quindi
 X \setminus    A = \bigcap\limits_{i \in \mathcal{I}} X \setminus    A_i .
 \Rightarrow X \setminus    A \subset X \setminus    A_i \forall i \in \mathcal{I}
 \Rightarrow X \setminus    A \cup X \setminus    A_i = X \setminus    A_i

Per la conservazione delle unioni binarie:

 \Rightarrow \operatorname{cl} \left(X \setminus    A \cup X \setminus    A_i \right) = \operatorname{cl}(X \setminus    A) \cup \operatorname{cl}(X \setminus    A_i)  = \operatorname{cl}(X \setminus    A_i)
 \Rightarrow \operatorname{cl}(X \setminus    A) \subset \operatorname{cl}(X \setminus    A_i) \forall i \in \mathcal{I}
 \Rightarrow \operatorname{cl}(X\setminus   A) \subset \bigcap\limits_{i \in \mathcal{I}}  \operatorname{cl}(X \setminus    A_i)= \bigcap\limits_{i \in \mathcal{I}} X \setminus    A_i =X \setminus    A.

Quindi  \operatorname{cl}(X\setminus A)\subset\ X\setminus A. Per l'estensività segue che  X\setminus A=\operatorname{cl}(X\setminus A) .

Pertanto, A è un aperto.

L'intersezione di un numero finito di insiemi aperti è un aperto:

Sia  \mathcal{I} una collezione finita di indici e siano gli  A_i aperti  \forall i \in \mathcal{I} .

\bigcap\limits_{i \in \mathcal{I}} A_i = X  \setminus \left( \bigcup\limits_{i \in \mathcal{I}} X \setminus A_i \right)=X \setminus \bigcup\limits_{i \in \mathcal{I}} \operatorname{cl}(X \setminus A_i)

Dalla conservazione delle unioni nulle segue per induzione che:

 = X \setminus\operatorname{cl}\left( \bigcup\limits_{i \in \mathcal{I}} X \setminus A_i \right)
 \Rightarrow X \setminus \bigcap\limits_{i \in \mathcal{I}} A_i=\operatorname{cl} \left( \bigcup\limits_{i \in \mathcal{I}} X \setminus A_i \right)
 \Rightarrow X \setminus \bigcap\limits_{i \in \mathcal{I}} A_i è aperto.

Richiami alle definizioni topologiche[modifica | modifica sorgente]

Una funzione tra due insieme topologici

f:(X,\operatorname{cl}) \to (X',\operatorname{cl}')

è detta continua se per ogni sottoinsieme A di X

f(\operatorname{cl}(A)) \subset \operatorname{cl}'(f(A))

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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