Idempotenza

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In informatica, in matematica, e in particolare in algebra, l'idempotenza è una proprietà delle funzioni per la quale applicando molteplici volte una data funzione, il risultato ottenuto è uguale a quello derivante dall'applicazione della funzione un'unica volta.

In particolare può caratterizzare endofunzioni, ovvero operazioni unarie, operazioni binarie ed elementi di strutture algebriche dotate di una operazione binaria, cioè elementi di magmi e di loro arricchimenti (in particolare di anelli e di algebre).

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un'operazione unaria idempotente entro un certo insieme S è una funzione del tipo:

T : S \rightarrow S~ tale che :~\forall x\in S ~:~ T(T(x))=T(x) \quad\mathrm{ovvero}\quad T\circ T = T

Ogni endofunzione idempotente entro un qualsiasi insieme è una unione funzionale di collassi. In particolare trasformazioni lineari idempotenti di uno spazio vettoriale V sono i proiettori sopra i sottospazi di V.

Un'operazione binaria idempotente entro un certo insieme S è una funzione del tipo:

~* : S \times S \rightarrow S~ tale che :\forall x\in S ~:~ x*x = x

Esempi di operazioni binarie idempotenti sono l'unione e la intersezione di insiemi, le operazioni logiche di AND e OR, il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo di interi positivi, le operazioni di giunzione o estremo superiore (sup) e di incontro o estremo inferiore (inf) di un reticolo o di un semireticolo.

Si osserva che la nozione di endofunzione idempotente si riconduce a quella di operazione binaria idempotente relativa al caso particolare dell'operazione di composizione di endofunzioni.

Se (S,*,\dots) è una struttura algebrica avente S come insieme sostegno e * operazione binaria, si dice elemento idempotente della struttura ogni e di S tale che e * e = e. In particolare nell'algebra delle matrici sopra un generico campo K sono elementi idempotenti le matrici quadrate diagonali aventi tutte le entrate della diagonale principale uguali a 1 o 0 (si osserva che esse costituiscono rappresentazioni di proiettori). Tra le matrici sui reali e sui complessi sono idempotenti anche le matrici quadrate aventi autovalori soltanto 1 e 0. Nell'algebra delle relazioni sono idempotenti le relazioni di equivalenza.

Idempotenza in informatica[modifica | modifica wikitesto]

Il termine idempotenza viene usato in accezioni corrispondenti a quella matematica riportata qui sopra, applicato a "funzioni" in senso informatico (ovvero subroutine che producono un valore di ritorno). Lo stesso termine viene usato anche in senso più lato per riferirsi a funzioni prive di effetti collaterali. In questo senso, una funzione è idempotente se non vi è alcuna differenza osservabile fra l'effetto di una singola attivazione della funzione e di N sue attivazioni consecutive effettuate con input identico.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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